2024년 9월 학력평가 수학 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이차 연립방정식을 보면 가장 먼저 '인수분해할 수 있는 식이 있는지' 찾아봐야 해요. 첫 번째 식

x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} = 0

을 보면 완전제곱식 형태라는 것이 눈에 띄죠? 여기서

x

와

y

의 관계를 알아낼 수 있습니다.

step1. 첫 번째 방정식 인수분해하기

첫 번째 식 $x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} = 0$ 을 자세히 살펴보면, 좌변이 완전제곱식으로 인수분해됩니다.

$(x - 2 y)^{2} = 0$

따라서 제곱해서 0이 되려면 그 안의 값이 0이어야 하므로, $x - 2 y = 0$ , 즉 $x = 2 y$ 라는 관계식을 얻을 수 있습니다.

step2. 두 번째 방정식에 대입하기

이제 얻어낸 $x = 2 y$ 를 두 번째 식 $x^{2} - 6 x - 12 y + 36 = 0$ 에 대입해 볼까요?

$x$ 대신 $2 y$ 를 넣으면,

$(2 y)^{2} - 6 (2 y) - 12 y + 36 = 0$

$4 y^{2} - 12 y - 12 y + 36 = 0$

$4 y^{2} - 24 y + 36 = 0$

이 식의 양변을 4로 나누어 간단히 정리합니다.

$y^{2} - 6 y + 9 = 0$

여기서 대입 후 전개할 때 부호와 계수를 꼼꼼히 확인하여 계산 실수를 하지 않도록 주의해야 해요.

step3. 해 구하기 및 최종 답 계산

정리된 식 $y^{2} - 6 y + 9 = 0$ 역시 완전제곱식으로 인수분해됩니다.

$(y - 3)^{2} = 0$

따라서 $y = 3$ 이 됩니다.

이제 $y = 3$ 을 $x = 2 y$ 에 대입하면 $x = 6$ 이 되죠.

문제에서 해가 $x = α, y = β$ 라고 했으므로 $α = 6, β = 3$ 입니다.

최종적으로 구하고자 하는 값은 $α \times β = 6 \times 3 = 18$ 입니다.

step1. 첫 번째 방정식 인수분해하기

$x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} = 0$

$(x - 2 y)^{2} = 0$

$x = 2 y$

step2. 두 번째 방정식에 대입하기

$x^{2} - 6 x - 12 y + 36 = 0$ --- $x = 2 y$ 를 대입하면

$(2 y)^{2} - 6 (2 y) - 12 y + 36 = 0$

$4 y^{2} - 24 y + 36 = 0$

$y^{2} - 6 y + 9 = 0$

step3. 해 구하기 및 최종 답 계산

$(y - 3)^{2} = 0$

$y = 3$

$x = 2 (3) = 6$

$∴ α \times β = 6 \times 3 = 18$

수학여정 - 문제 분석 리포트