(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 수학 20번 풀이 해설 [이해용/실전용]

20. 등차수열

{a_{n}}

의 첫째항부터 제

n

항까지의 합을

S_{n}

이라 하자. 수열

{b_{n}}

은 모든 자연수

n

에 대하여

b_{n} = {\begin{matrix} 2 (S_{n} - n a_{n}) & (n 이 홀수인 경우) \\ (n - 1) a_{n} & (n 이 짝수인 경우) \end{matrix}

를 만족시킨다.
다음은

b_{2} = 2

일 때,

\sum_{n = 1}^{20} b_{n}

의 값을 구하는 과정이다.
(중략: 풀이 과정 생략)
위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각

f (k)

g (k)

라 하고, (다)에 알맞은 수를

p

라 할 때,

f (2) + g (3) + p

의 값을 구하시오. [4점]

이 문제는 등차수열의 합 공식과 일반항의 성질을 이용하여 주어진 수열의 합을 구하는 과정에서 빈칸을 추론할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

- 등차수열

{a_{n}}

의 첫째항부터 제

n

항까지의 합

S_{n}

b_{n} = {\begin{matrix} 2 (S_{n} - n a_{n}) & (n 이 홀수인 경우) \\ (n - 1) a_{n} & (n 이 짝수인 경우) \end{matrix}

b_{2} = 2

이 문제는 주어진 수열의 합 공식을 대입하여 식을 정리하고, 등차수열의 성질을 이용하여 빈칸을 추론하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. (가)에 알맞은 식 $f (k)$ 를 구합니다.

step2. 문제 조건 $b_{2} = 2$ 를 이용하여 $a_{2}$ 의 값을 구합니다.

step3. 등차수열의 성질을 이용하여 (나)에 알맞은 식 $g (k)$ 를 구합니다.

step4. 시그마 공식을 이용하여 (다)에 알맞은 수 $p$ 를 구하고 최종 답을 계산합니다.

- 등차수열의 일반항과 합 : 첫째항이 $a_{1}$ , 공차가 $d$ 인 등차수열에서 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ 이고, $S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}$ 입니다.

- 시그마 공식 : $\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$ 입니다.

빈칸 추론 문제는 앞뒤 문맥의 등식을 만족하도록 식을 변형하는 것이 핵심이에요. 특히 (나)를 구할 때는 등차수열의 이웃한 두 항의 차이가 공차

d

라는 점을 떠올려야 합니다.

step1. (가) 구하기

먼저 (가)에 들어갈 식을 찾아볼게요. 주어진 식에 $S_{2 k - 1}$ 을 대입하여 정리해 봅시다.

$b_{2 k - 1} = 2 \times {\frac{(2 k - 1) (a_{1} + a_{2 k - 1})}{2} - (2 k - 1) a_{2 k - 1}}$

중괄호 안의 식을 전개하면,

$= (2 k - 1) (a_{1} + a_{2 k - 1}) - 2 (2 k - 1) a_{2 k - 1}$ 이 됩니다.

여기서 앞의 분수를 약분한 후, 뒤의 항에도 반드시 2를 곱해주는 것을 놓치기 쉽습니다.

이제 공통인수인 $(2 k - 1)$ 로 묶어내면,

$= (2 k - 1) {(a_{1} + a_{2 k - 1}) - 2 a_{2 k - 1}}$

$= (2 k - 1) (a_{1} - a_{2 k - 1})$ 이 됩니다.

따라서 (가)에 알맞은 식은 $2 k - 1$ 이고, $f (k) = 2 k - 1$ 이에요.

step2. $a_{2}$ 구하기

다음으로 문제에 주어진 조건인 $b_{2} = 2$ 를 활용해 볼게요.

$n$ 이 짝수일 때 $b_{n} = (n - 1) a_{n}$ 이므로, $n = 2$ 를 대입해 봅니다.

$b_{2} = (2 - 1) a_{2} = a_{2}$ 가 되죠?

문제에서 $b_{2} = 2$ 라고 했으므로, $a_{2} = 2$ 라는 중요한 정보를 얻을 수 있어요.

step3. (나) 구하기

이제 (나)에 들어갈 식을 구해봅시다.

$b_{2 k - 1} + b_{2 k} = (2 k - 1) (a_{1} - a_{2 k - 1}) + (2 k - 1) a_{2 k}$

여기서도 공통인수 $(2 k - 1)$ 로 묶어내면,

$= (2 k - 1) (a_{1} - a_{2 k - 1} + a_{2 k})$ 가 됩니다.

등차수열에서 이웃한 두 항의 차이 $a_{2 k} - a_{2 k - 1}$ 은 공차 $d$ 와 같다는 성질을 이용하는 것이 포인트입니다.

따라서 괄호 안의 식은 $a_{1} + d$ 가 되는데, 이는 등차수열의 두 번째 항인 $a_{2}$ 와 같아요.

step2에서 $a_{2} = 2$ 임을 구했으므로 대입해주면,

$= (2 k - 1) \times 2 = 4 k - 2$ 가 됩니다.

따라서 (나)에 알맞은 식은 $4 k - 2$ 이고, $g (k) = 4 k - 2$ 예요.

step4. (다) 구하기 및 최종 답 계산

마지막으로 (다)에 알맞은 수 $p$ 를 구하고 최종 답을 계산해 볼게요.

$\sum_{n = 1}^{20} b_{n} = (b_{1} + b_{2}) + (b_{3} + b_{4}) + \dots + (b_{19} + b_{20})$

이는 $\sum_{k = 1}^{10} (b_{2 k - 1} + b_{2 k})$ 와 같이 표현할 수 있어요.

step3에서 구한 식을 대입하면,

$\sum_{k = 1}^{10} (4 k - 2) = 4 \sum_{k = 1}^{10} k - \sum_{k = 1}^{10} 2$

$= 4 \times \frac{10 \times 11}{2} - 2 \times 10$

$= 220 - 20 = 200$ 이 됩니다.

따라서 (다)에 알맞은 수 $p = 200$ 이에요.

최종적으로 우리가 구해야 할 값은 $f (2) + g (3) + p$ 이므로,

$f (2) = 2 (2) - 1 = 3$

$g (3) = 4 (3) - 2 = 10$

$3 + 10 + 200 = 213$ 이 정답이 됩니다.

step1. (가) 구하기

$b_{2 k - 1} = 2 {\frac{(2 k - 1) (a_{1} + a_{2 k - 1})}{2} - (2 k - 1) a_{2 k - 1}}$

$= (2 k - 1) (a_{1} + a_{2 k - 1}) - 2 (2 k - 1) a_{2 k - 1}$

$= (2 k - 1) (a_{1} - a_{2 k - 1})$

$∴ f (k) = 2 k - 1$

step2. $a_{2}$ 구하기

$b_{2} = (2 - 1) a_{2} = a_{2} = 2$

step3. (나) 구하기

$b_{2 k - 1} + b_{2 k} = (2 k - 1) (a_{1} - a_{2 k - 1}) + (2 k - 1) a_{2 k}$

$= (2 k - 1) (a_{1} - a_{2 k - 1} + a_{2 k})$

$= (2 k - 1) (a_{1} + d)$ --- $a_{2 k} - a_{2 k - 1} = d$ 이므로

$= (2 k - 1) a_{2}$

$= 2 (2 k - 1) = 4 k - 2$

$∴ g (k) = 4 k - 2$

step4. (다) 구하기 및 최종 답 계산

$\sum_{n = 1}^{20} b_{n} = \sum_{k = 1}^{10} (b_{2 k - 1} + b_{2 k}) = \sum_{k = 1}^{10} (4 k - 2)$

$= 4 \times \frac{10 \times 11}{2} - 20 = 200$

$∴ p = 200$

$f (2) + g (3) + p = 3 + 10 + 200 = 213$

🔒 막힌 이유

(가)를 구하는 과정에서 식을 전개하고 묶어낼 때 대수적 조작에서 실수하기 쉽습니다.
(나)를 구할 때 $a_{1} - a_{2 k - 1} + a_{2 k}$ 가 $a_{2}$ 가 된다는 사실을 파악하지 못하거나, 문제 조건인 $b_{2} = 2$ 를 활용하지 못해 $k$ 에 대한 식으로 나타내지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

분수를 약분한 후 공통인수인 $(2 k - 1)$ 로 묶어내어 식을 간단히 정리해보세요.
등차수열의 정의에 따라 $a_{2 k} - a_{2 k - 1} = d$ (공차)임을 이용하고, $a_{1} + d = a_{2}$ 임을 파악하세요. 그리고 $n = 2$ 일 때의 $b_{n}$ 식을 통해 $a_{2}$ 의 값을 구하여 대입합니다.
(팁: 빈칸 추론 문제에서 특정 항의 값이 주어졌다면, 반드시 그 값을 구해서 식에 대입해야 합니다.)

(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 고3 수학 20번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학 I · 등차수열 / 수열의 합 / 빈칸 추론
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구