(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 수학 17번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 부정적분을 구하여 적분상수를 포함한 식을 세운 뒤, 주어진 조건을 이용해 적분상수를 찾고 최종 함숫값을 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. $f (x)$ 의 부정적분 $F (x)$ 를 적분상수 $C$ 를 포함하여 구합니다.

step2. 주어진 조건 $F (0) + F (2) = 14$ 를 이용하여 적분상수 $C$ 의 값을 구합니다.

step3. 완성된 $F (x)$ 식에 $x = 3$ 을 대입하여 $F (3)$ 의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 다항함수의 부정적분 : $n$ 이 음이 아닌 정수일 때, $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ (단, $C$ 는 적분상수)

5. 구체적 풀이

F (x)

가

f (x)

의 부정적분이라고 했으니, 가장 먼저 해야 할 일은

f (x)

를 적분하여

F (x)

의 식을 세우는 것입니다. 이때 적분상수

C

를 잊지 말고 꼭 붙여주어야 해요. 그 다음 문제에 주어진

F (0) + F (2) = 14

라는 조건을 사용하면 숨겨진

C

의 값을 찾아낼 수 있습니다.

step1. 부정적분 $F (x)$ 구하기

함수 $f (x) = 3 x^{2} + 4$ 의 부정적분 $F (x)$ 를 구해볼게요.

다항함수의 적분법에 따라 각 항을 적분하면 됩니다.

$F (x) = \int (3 x^{2} + 4) d x = x^{3} + 4 x + C$ 가 됩니다.

여기서 적분상수 $C$ 를 빠뜨리면 이후 계산이 불가능해지거나 틀린 답이 나오므로 반드시 적어주어야 해요.

step2. 적분상수 $C$ 구하기

이제 문제에서 주어진 조건인 $F (0) + F (2) = 14$ 를 이용할 차례입니다.

먼저 $F (0)$ 과 $F (2)$ 를 각각 계산해볼까요?

$F (0) = 0^{3} + 4 \cdot 0 + C = C$

$F (2) = 2^{3} + 4 \cdot 2 + C = 8 + 8 + C = 16 + C$

이 두 값을 더한 것이 14라고 했으므로,

$F (0) + F (2) = C + (16 + C) = 2 C + 16 = 14$ 가 됩니다.

이 방정식을 풀면,

$2 C = 14 - 16 = - 2$

따라서 $C = - 1$ 임을 알 수 있어요.

이제 $F (x)$ 의 완벽한 식은 $F (x) = x^{3} + 4 x - 1$ 이 되었습니다.

step3. $F (3)$ 의 값 계산하기

마지막으로 우리가 구해야 하는 $F (3)$ 의 값을 계산해봅시다.

완성된 $F (x)$ 식에 $x = 3$ 을 대입하면 되겠죠?

$F (3) = 3^{3} + 4 \cdot 3 - 1$

$= 27 + 12 - 1$

$= 39 - 1 = 38$

따라서 정답은 38입니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 부정적분 $F (x)$ 구하기

$F (x) = \int (3 x^{2} + 4) d x = x^{3} + 4 x + C$

step2. 적분상수 $C$ 구하기

$F (0) + F (2) = 14$

$C + (8 + 8 + C) = 14$

$2 C + 16 = 14$

$2 C = - 2 ∴ C = - 1$

$F (x) = x^{3} + 4 x - 1$

step3. $F (3)$ 의 값 계산하기

$F (3) = 3^{3} + 4 (3) - 1 = 27 + 12 - 1 = 38$

$∴ 38$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

부정적분을 구할 때 적분상수 $C$ 를 빠뜨려 $F (x) = x^{3} + 4 x$ 로만 생각하고 조건을 적용하려다 막힐 수 있습니다.
$F (0) + F (2) = 14$ 라는 조건에서 $C$ 를 어떻게 구해야 할지 식을 세우는 과정에서 계산 실수를 할 수 있습니다.

🔑 돌파구

부정적분을 구할 때는 항상 적분상수 $C$ 를 붙여서 $F (x) = x^{3} + 4 x + C$ 로 식을 세워야 합니다.
$F (0)$ 과 $F (2)$ 를 각각 $C$ 에 대한 식으로 나타낸 후, 두 식을 더하여 $C$ 의 값을 구하는 일차방정식을 풉니다.
부정적분 문제에서 함숫값 조건이 주어지면 이는 적분상수를 구하기 위한 힌트임을 기억하세요.

(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 고3 수학 17번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학 Ⅱ · 부정적분 / 다항함수의 적분
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구