수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 도함수 구하기 및 극값 후보 찾기

$f(x)=x^3-12x+k$를 미분하면 $f^{\prime }(x)=3x^2-12$가 됩니다.

$f^{\prime }(x)=0$이 되는 $x$를 찾기 위해 인수분해를 하면 $3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)=0$이므로 $x=2$ 또는 $x=-2$입니다.

step2. 구간 내의 함숫값 구하기

$x=-2$와 $x=2$ 두 개의 값이 나왔지만, 우리가 확인해야 할 구간은 $[0,3]$입니다. 따라서 $x=-2$는 버리고, 구간 안에 있는 $x=2$만 생각해야 해요.

이제 구간의 양 끝점인 $x=0,3$과 극값이 될 수 있는 $x=2$에서의 함숫값을 각각 구해봅시다.

$f(0)=0^3-12·0+k=k$

$f(2)=2^3-12·2+k=8-24+k=k-16$

$f(3)=3^3-12·3+k=27-36+k=k-9$

step3. 최댓값을 이용하여 $k$ 구하기

닫힌구간에서의 최댓값과 최솟값은 양 끝값과 구간 내의 극값 중 가장 큰 값과 가장 작은 값입니다.

우리가 구한 세 함숫값 $k,k-16,k-9$를 비교해 볼까요?

어떤 수 $k$에서 아무것도 빼지 않은 $k$가 가장 크고, 16을 뺀 $k-16$이 가장 작겠죠?

따라서 최댓값은 $f(0)=k$입니다.

문제에서 최댓값이 40이라고 했으므로, $k=40$이 됩니다.

step4. 최솟값 구하기

가장 작은 값은 $f(2)=k-16$이었습니다.

방금 구한 $k=40$을 대입하면, 최솟값은 $40-16=24$가 됩니다.

step1. 도함수 구하기 및 극값 후보 찾기

$f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)=0$

$x=2$ 또는 $x=-2$

step2. 구간 내의 함숫값 구하기

--- 구간 $[0,3]$에 속하는 $x=2$와 양 끝점 $x=0,3$에서의 함숫값 비교

$f(0)=k$

$f(2)=8-24+k=k-16$

$f(3)=27-36+k=k-9$

step3. 최댓값을 이용하여 $k$ 구하기

--- 세 값 중 최댓값은 $k$이므로

$k=40$

step4. 최솟값 구하기

--- 최솟값은 $k-16$이므로

$40-16=24$

$\therefore 24$