(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 수학 6번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 로그의 성질을 이용하여 밑을 통일하고, 두 식을 연립하여 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 첫 번째 식의 밑을 $a$ 로 변환하여 $a$ 와 $b$ 의 관계식을 구합니다.

step2. 두 번째 식의 밑을 2로 통일하고, step1에서 구한 관계식을 대입하여 $\log_{2} a$ 의 값을 구합니다.

step3. 구하고자 하는 식 $\log_{2} \frac{b}{a}$ 를 $\log_{2} a$ 에 대한 식으로 변형하여 최종 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 성질 (밑과 진수의 지수) : $\log_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} \log_{a} b$ (단, $a > 0, a \neq 1, b > 0$ )

- 로그의 성질 (진수의 나눗셈) : $\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y$

5. 구체적 풀이

로그가 포함된 여러 개의 식이 주어졌을 때는 가장 먼저 '밑을 같게 만들 수 있는지' 확인해야 해요. 첫 번째 식에서는

\sqrt{a}

를

a

로, 두 번째 식에서는

4

를

2

로 바꾸면 계산이 훨씬 편해질 거라는 생각을 하는 것이 핵심입니다.

step1. 첫 번째 식 정리하기

첫 번째 식 $\log_{\sqrt{a}} b = 6$ 에서 밑인 $\sqrt{a}$ 는 $a^{\frac{1}{2}}$ 로 표현할 수 있습니다.

로그의 성질 $\log_{a^{m}} b = \frac{1}{m} \log_{a} b$ 를 이용하면 밑의 지수를 앞으로 꺼낼 수 있어요.

$\log_{a^{\frac{1}{2}}} b = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_{a} b = 2 \log_{a} b = 6$

양변을 2로 나누면 $\log_{a} b = 3$ 이 됩니다.

로그의 정의에 의해 $b = a^{3}$ 이라는 중요한 관계식을 얻을 수 있어요.

step2. 두 번째 식 정리하고 $\log_{2} a$ 구하기

두 번째 식은 $\log_{4} a + \log_{2} b = 14$ 입니다.

밑이 4와 2로 다르기 때문에 이 상태로는 바로 계산하기 어려워요. 밑을 2로 통일해 주어야 합니다.

$\log_{4} a = \log_{2^{2}} a = \frac{1}{2} \log_{2} a$ 로 바꿀 수 있죠.

이제 식은 $\frac{1}{2} \log_{2} a + \log_{2} b = 14$ 가 됩니다.

여기에 step1에서 구한 $b = a^{3}$ 을 대입해 볼게요.

$\frac{1}{2} \log_{2} a + \log_{2} (a^{3}) = 14$

$\log_{2} (a^{3}) = 3 \log_{2} a$ 이므로,

$\frac{1}{2} \log_{2} a + 3 \log_{2} a = 14$

$\frac{7}{2} \log_{2} a = 14$

양변에 $\frac{2}{7}$ 를 곱하면 $\log_{2} a = 14 \times \frac{2}{7} = 4$ 가 됩니다.

step3. 최종 정답 구하기

우리가 구해야 하는 값은 $\log_{2} \frac{b}{a}$ 입니다.

$b = a^{3}$ 을 대입하면, $\frac{b}{a} = \frac{a^{3}}{a} = a^{2}$ 이 되죠.

따라서 $\log_{2} \frac{b}{a} = \log_{2} (a^{2}) = 2 \log_{2} a$ 가 됩니다.

step2에서 $\log_{2} a = 4$ 임을 구했으니,

$2 \times 4 = 8$ 이 최종 정답이 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 첫 번째 식 정리

$\log_{\sqrt{a}} b = 6$

$\log_{a^{1 / 2}} b = 2 \log_{a} b = 6$

$\log_{a} b = 3$

$b = a^{3}$

step2. 두 번째 식 정리 및 $\log_{2} a$ 계산

$\log_{4} a + \log_{2} b = 14$

$\frac{1}{2} \log_{2} a + \log_{2} b = 14$ --- 밑을 2로 통일

$\frac{1}{2} \log_{2} a + \log_{2} (a^{3}) = 14$ --- $b = a^{3}$ 대입

$\frac{1}{2} \log_{2} a + 3 \log_{2} a = 14$

$\frac{7}{2} \log_{2} a = 14$

$\log_{2} a = 4$

step3. 최종 정답 도출

$\log_{2} \frac{b}{a} = \log_{2} \frac{a^{3}}{a} = \log_{2} a^{2}$

$= 2 \log_{2} a$

$= 2 \times 4 = 8$

$∴ 8$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

$\log_{\sqrt{a}} b$ 에서 밑이 무리수 형태인 $\sqrt{a}$ 로 주어져 있어, 이를 지수 형태로 바꾸어 식을 간단히 하는 과정을 떠올리지 못할 수 있습니다.
두 번째 식에서 밑이 4와 2로 다르기 때문에, 밑을 통일하여 하나의 문자에 대해 정리하는 연산에서 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

로그의 성질 $\log_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} \log_{a} b$ 를 이용하여 밑의 지수를 로그 밖으로 빼내어 식을 정리해 보세요.
밑이 다를 때는 가장 작은 소수인 2로 밑을 통일하여 식을 정리하는 것이 좋습니다.
(확장 팁: 로그 방정식이나 연립방정식에서는 항상 '밑을 통일'하는 것이 첫 번째 목표입니다.)

(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 고3 수학 6번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 로그 / 로그의 성질
난이도	중하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구