수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 조건 (가) 분석 및 a, b의 범위 파악

먼저 조건 (가)에서 ${lim}_{t\to 0+}g(t)=6$이라고 했어요. $t$가 0보다 살짝 클 때 $y=|f(x)|$와 $y=t$의 교점이 6개가 되려면, $f(x)$의 그래프가 $x$축과 서로 다른 3개의 점에서 만나야 해요. 그래야 접어 올렸을 때 V자 모양이 3개가 생겨서 선을 그었을 때 교점이 6개가 되거든요.

$f(x)$의 식을 보면 근이 될 수 있는 후보는 $x=a,4,b$예요. 이 세 값이 모두 유효한 근이 되려면 각자의 정의된 구간 안에 들어가야 해요.

- $x=4$는 $a\le x\le \frac{3}{2}a$ 구간에 있어야 하므로, $a<4<\frac{3}{2}a$가 되어 $\frac{8}{3}<a<4$라는 범위를 얻을 수 있어요.

- $x=b$는 $x<a$ 또는 $x>\frac{3}{2}a$ 구간에 있어야 해요. 만약 $b>\frac{3}{2}a$라면 그래프를 그렸을 때 교점이 7개가 나와서 조건에 맞지 않아요. 따라서 $b<a$이어야만 교점이 정확히 6개가 됩니다.

step2. |f(x)|의 극댓값과 경계값 계산

이제 $y=|f(x)|$ 그래프의 봉우리(극댓값)와 끊어지는 경계점의 높이를 구해볼게요.

- $a\le x\le \frac{3}{2}a$ 구간에서 $f(x)=(x-a)(x-4)$의 꼭짓점은 $x=\frac{a+4}{2}$에 있어요. 이를 대입해 절댓값을 씌우면 극댓값 $M_1=(\frac{4-a}{2}{)}^2$이 됩니다.

- $x<a$ 구간에서 $f(x)=(x-a)(x-b)$의 꼭짓점은 $x=\frac{a+b}{2}$에 있고, 극댓값은 $M_2=(\frac{a-b}{2}{)}^2$이 됩니다.

- 그래프가 끊어지는 $x=\frac{3}{2}a$에서의 값을 볼게요. 왼쪽에서 다가갈 때의 값은 $y_1=f(\frac{3}{2}a)=\frac{1}{2}a(\frac{3}{2}a-4)=\frac{3}{4}{a}^2-2a$예요.

- 오른쪽에서 다가갈 때의 값은 $y_2={lim}_{x\to \frac{3}{2}a+}f(x)=\frac{1}{2}a(\frac{3}{2}a-b)=\frac{3}{4}{a}^2-\frac{1}{2}ab$입니다. ($b<4$이므로 $y_2>y_1$이 성립해요.)

step3. 조건 (나)를 이용한 관계식 설정

조건 (나)에서 $g(t)$의 불연속점이 $\alpha ,\beta$ 딱 2개뿐이고, 그 사이에서 극한값이 1이라고 했어요.

$t$가 매우 클 때는 양쪽 끝으로 뻗어나가는 그래프 때문에 교점이 2개예요. 교점이 1개가 되려면 오른쪽 위로 뻗어나가는 그래프가 시작되는 $y_2$보다 $t$가 작아야 하고, 동시에 다른 모든 극댓값 봉우리($M_1,M_2$)보다는 $t$가 커야 해요.

만약 $M_1$이나 $M_2$가 $y_1$과 높이가 다르다면, $t$가 그 높이를 지날 때마다 교점의 개수가 변해서 불연속점이 3개 이상 생겨버려요.

따라서 불연속점을 2개($y_1,y_2$)로 유지하려면, 반드시 $M_1=M_2=y_1$이어야만 합니다.

step4. a와 b의 값 계산

이제 세운 식을 풀어볼게요.

먼저 $M_1=y_1$을 풀면:

$(\frac{4-a}{2}{)}^2=\frac{3}{4}{a}^2-2a$

양변을 전개하면 $4-2a+\frac{a^2}{4}=\frac{3}{4}{a}^2-2a$가 됩니다.

정리하면 $\frac{a^2}{2}=4$이므로 $a^2=8$이에요. $a>0$이므로 $a=2\sqrt{2}$를 얻습니다.

다음으로 $M_2=M_1$을 풀면:

$(\frac{a-b}{2}{)}^2=(\frac{4-a}{2}{)}^2$

$b<a<4$이므로 괄호 안의 값은 모두 양수예요. 따라서 $\frac{a-b}{2}=\frac{4-a}{2}$가 성립합니다.

이를 정리하면 $a-b=4-a$가 되어 $b=2a-4$가 됩니다.

$a=2\sqrt{2}$를 대입하면 $b=4\sqrt{2}-4$가 됩니다.

step5. 최종 정답 도출

마지막으로 $f(0)$을 계산해 봅시다.

$x=0$은 $a=2\sqrt{2}$보다 작으므로, 두 번째 식인 $f(x)=(x-a)(x-b)$에 대입해야 해요.

$f(0)=(-a)(-b)=ab$

$ab=2\sqrt{2}(4\sqrt{2}-4)=16-8\sqrt{2}$

문제에서 $f(0)=p+q\sqrt{2}$라고 했으므로, $p=16$, $q=-8$이 됩니다.

따라서 우리가 구하고자 하는 $p^2+q^2$의 값은 ${16}^2+(-8{)}^2=256+64=320$입니다.

step1. 조건 (가) 분석 및 a, b의 범위 파악

${lim}_{t\to 0+}g(t)=6$이므로 $f(x)=0$은 서로 다른 세 실근을 가져야 함.

근은 $x=a,4,b$이므로 $a<4<\frac{3}{2}a⟹\frac{8}{3}<a<4$, $b<a$.

step2. |f(x)|의 극댓값과 경계값 계산

$M_1=(\frac{4-a}{2}{)}^2$, $M_2=(\frac{a-b}{2}{)}^2$

$y_1=f(\frac{3}{2}a)=\frac{3}{4}{a}^2-2a$

$y_2={lim}_{x\to \frac{3}{2}a+}f(x)=\frac{3}{4}{a}^2-\frac{1}{2}ab$

step3. 조건 (나)를 이용한 관계식 설정

불연속점이 2개이고 $limg(t)=1$이려면 극댓값이 경계값과 일치해야 함.

$\therefore M_1=M_2=y_1$

step4. a와 b의 값 계산

$M_1=y_1⟹(\frac{4-a}{2}{)}^2=\frac{3}{4}{a}^2-2a⟹a^2=8⟹a=2\sqrt{2}$

$M_2=M_1⟹\frac{a-b}{2}=\frac{4-a}{2}⟹b=2a-4=4\sqrt{2}-4$

step5. 최종 정답 도출

$f(0)=ab=2\sqrt{2}(4\sqrt{2}-4)=16-8\sqrt{2}$

$p=16,q=-8⟹p^2+q^2=320$

$\therefore 320$