수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 고3 수학 2번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류수학Ⅱ · 미분계수 / 도함수
난이도하

🔍 이해용 풀이

문제
2. 함수 f(x)=x2+3x−1에 대하여 limh→0f(3+h)−f(3)h의 값은? [2점]
① 7    ② 9    ③ 11    ④ 13    ⑤ 15

1. 문제의 요지

이 문제는 미분계수의 정의를 이해하고, 다항함수의 도함수를 이용하여 특정한 점에서의 미분계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- f(x)=x2+3x−1
- limh→0f(3+h)−f(3)h의 값을 구해야 함

3. 풀이의 순서

이 문제는 미분계수의 정의를 이용하여 극한식을 도함수의 함숫값으로 바꾸어 풀이합니다.

step1. 주어진 극한식이 미분계수 f′(3)을 의미함을 파악합니다.

step2. 함수 f(x)의 도함수 f′(x)를 구합니다.

step3. 도함수에 x=3을 대입하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 미분계수의 정의 : 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할 때, x=a에서의 미분계수는 f′(a)=limh→0f(a+h)−f(a)h로 정의됩니다.

- 다항함수의 미분법 : f(x)=xn이면 f′(x)=nxn−1이고, f(x)=cx이면 f′(x)=c입니다. 상수를 미분하면 0이 됩니다.

5. 구체적 풀이

복잡해 보이는 극한식을 직접 계산하기보다는, 이 식이 무엇을 의미하는지 먼저 생각해 보세요. 이 식은 바로 x=3에서의 미분계수, 즉 f′(3)을 나타냅니다.

step1. 극한식의 의미 파악하기

문제에서 구하라고 한 식 limh→0f(3+h)−f(3)h를 잘 살펴보세요. 이 형태는 미분계수의 정의와 정확히 일치합니다. 미분계수의 정의에 따라 이 극한식은 함수 f(x)의 x=3에서의 미분계수인 f′(3)을 의미합니다. 이 식에 f(3+h)를 직접 대입해서 전개하여 극한을 계산해도 답은 나오지만, 계산이 복잡해져서 실수하기 쉽습니다.

step2. 도함수 f′(x) 구하기

이제 f′(3)을 구하기 위해 먼저 함수 f(x)의 도함수 f′(x)를 구해볼게요. 주어진 함수는 f(x)=x2+3x−1입니다. 다항함수의 미분법 공식을 적용하면, x2을 미분하면 2x가 되고, 3x를 미분하면 3이 되며, 상수 −1을 미분하면 0이 됩니다. 따라서 도함수는 f′(x)=2x+3이 됩니다.

step3. f′(3) 계산하기

마지막으로 구한 도함수 f′(x)=2x+3에 x=3을 대입하여 f′(3)의 값을 계산합니다. f′(3)=2×3+3=6+3=9가 됩니다. 따라서 우리가 구하고자 하는 극한값은 9입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 극한식의 의미 파악

limh→0f(3+h)−f(3)h=f′(3)   --- 미분계수의 정의

step2. 도함수 f′(x) 구하기

f(x)=x2+3x−1

f′(x)=2x+3

step3. f′(3) 계산하기

f′(3)=2(3)+3=9

∴9

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

극한식을 보고 직접 f(3+h)와 f(3)을 대입하여 전개하려다 계산 실수를 할 수 있습니다.
이 극한식이 미분계수 f′(3)을 의미한다는 것을 바로 떠올리지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

극한식 limh→0f(a+h)−f(a)h가 f′(a)를 의미한다는 미분계수의 정의를 떠올립니다.
다항함수의 미분법을 사용하여 도함수 f′(x)를 구한 뒤 x=a를 대입하면 훨씬 빠르고 정확하게 계산할 수 있습니다.

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