(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]

12. 모든 항이 양수인 등비수열

{a_{n}}

의 첫째항부터 제

n

항까지의 합을

S_{n}

이라 하자.

a_{5} \times (a_{6} + a_{7}) = 20 a_{10}

S_{4} = 65

일 때,

a_{2}

의 값은? [4점]
① 12 ② 14 ③ 16 ④ 18 ⑤ 20

이 문제는 등비수열의 일반항과 합의 공식을 이용하여 주어진 관계식을 연립하고, 첫째항과 공비를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

- 모든 항이 양수인 등비수열

{a_{n}}

a_{5} \times (a_{6} + a_{7}) = 20 a_{10}

S_{4} = 65

이 문제는 모든 항을 첫째항과 공비로 표현한 뒤, 두 식을 연립하여 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 첫 번째 조건식을 첫째항 $a$ 와 공비 $r$ 로 표현하여 간단히 정리합니다.

step2. 두 번째 조건식인 $S_{4}$ 를 인수분해하여 step1에서 얻은 식을 대입합니다.

step3. 공비 $r$ 과 첫째항 $a$ 를 구한 뒤, 최종적으로 $a_{2}$ 의 값을 계산합니다.

- 등비수열의 일반항 : 첫째항이 $a$ , 공비가 $r$ 인 등비수열의 제 $n$ 항은 $a_{n} = a r^{n - 1}$ 입니다.

- 등비수열의 합 : 첫째항이 $a$ , 공비가 $r$ ( $r \neq 1$ )인 등비수열의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합은 $S_{n} = \frac{a (r^{n} - 1)}{r - 1}$ 입니다.

- 인수분해 (합차 공식) : $x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)$ 를 이용하여 $r^{4} - 1 = (r^{2} - 1) (r^{2} + 1)$ 로 분해할 수 있습니다.

등비수열 문제는 복잡해 보여도 결국 첫째항( $a$ )과 공비( $r$ ) 두 개의 미지수를 찾는 게임이에요. 주어진 두 개의 식을 모두

a

와

r

에 대한 식으로 바꾼 다음, 공통된 모양(덩어리)을 찾아 대입하는 것이 핵심이랍니다.

step1. 첫 번째 조건식을 첫째항 $a$ 와 공비 $r$ 로 표현하여 간단히 정리합니다.

등비수열의 첫째항을 $a$ , 공비를 $r$ 이라고 해볼게요. 문제에서 모든 항이 양수라고 했으므로 $a > 0$ , $r > 0$ 이라는 것을 알 수 있어요.

첫 번째 조건식인 $a_{5} \times (a_{6} + a_{7}) = 20 a_{10}$ 의 모든 항을 $a$ 와 $r$ 로 바꾸어 써봅시다.

$a_{5} = a r^{4}$

$a_{6} = a r^{5}$

$a_{7} = a r^{6}$

$a_{10} = a r^{9}$

이것들을 원래 식에 대입하면,

$a r^{4} \times (a r^{5} + a r^{6}) = 20 a r^{9}$ 이 됩니다.

좌변의 괄호를 풀어 정리해볼까요?

$a^{2} r^{9} + a^{2} r^{10} = 20 a r^{9}$

좌변을 $a^{2} r^{9}$ 으로 묶어주면,

$a^{2} r^{9} (1 + r) = 20 a r^{9}$ 이 되죠.

여기서 $a > 0, r > 0$ 이므로 양변을 $a r^{9}$ 으로 과감하게 나눌 수 있어요.

양변을 $a r^{9}$ 으로 나누면 아주 간단한 식이 나옵니다.

$a (1 + r) = 20$ --- (식 1)

step2. 두 번째 조건식인 $S_{4}$ 를 인수분해하여 step1에서 얻은 식을 대입합니다.

이제 두 번째 조건인 $S_{4} = 65$ 를 이용할 차례예요.

등비수열의 합 공식에 따라 $S_{4} = \frac{a (r^{4} - 1)}{r - 1}$ 로 쓸 수 있죠.

$S_{4}$ 의 공식을 무작정 전개하려고 하면 계산이 꼬일 수 있어요. 분자의 $r^{4} - 1$ 을 합차 공식으로 인수분해하여 앞서 구한 $a (1 + r)$ 모양을 찾아내는 것이 중요합니다.

분자 $r^{4} - 1$ 을 합차 공식으로 차근차근 분해해볼게요.

$r^{4} - 1 = (r^{2} - 1) (r^{2} + 1) = (r - 1) (r + 1) (r^{2} + 1)$

이것을 합 공식에 다시 넣어보면,

$S_{4} = \frac{a (r - 1) (r + 1) (r^{2} + 1)}{r - 1}$ 이 됩니다.

분모와 분자에 있는 $(r - 1)$ 을 약분하면,

$a (r + 1) (r^{2} + 1) = 65$ 가 남게 되죠.

어라? 여기서 $a (r + 1)$ 은 우리가 step1에서 구한 (식 1)의 모양과 똑같네요!

$a (r + 1) = 20$ 을 이 식에 쏙 대입해줍니다.

$20 (r^{2} + 1) = 65$

step3. 공비 $r$ 과 첫째항 $a$ 를 구한 뒤, 최종적으로 $a_{2}$ 의 값을 계산합니다.

이제 $r$ 을 구해볼까요?

$20 (r^{2} + 1) = 65$ 의 양변을 20으로 나누면,

$r^{2} + 1 = \frac{65}{20} = \frac{13}{4}$ 이 됩니다.

$r^{2} = \frac{13}{4} - 1 = \frac{9}{4}$ 이죠.

모든 항이 양수이므로 $r > 0$ 이어야 해요. 따라서 $r = \frac{3}{2}$ 입니다.

구해낸 $r = \frac{3}{2}$ 을 다시 (식 1)인 $a (1 + r) = 20$ 에 대입해서 첫째항 $a$ 를 찾아봅시다.

$a (1 + \frac{3}{2}) = 20$

$a \times \frac{5}{2} = 20$

$a = 20 \times \frac{2}{5} = 8$

드디어 첫째항 $a = 8$ 과 공비 $r = \frac{3}{2}$ 을 모두 찾았네요!

우리가 최종적으로 구해야 하는 것은 제2항인 $a_{2}$ 입니다.

$a_{2} = a r = 8 \times \frac{3}{2} = 12$

따라서 정답은 12가 됩니다.

step1. 첫 번째 조건식을 첫째항 $a$ 와 공비 $r$ 로 표현하여 간단히 정리합니다.

$a r^{4} (a r^{5} + a r^{6}) = 20 a r^{9}$

$a^{2} r^{9} (1 + r) = 20 a r^{9}$

$a (1 + r) = 20$ --- $a > 0, r > 0$ 이므로 양변을 $a r^{9}$ 으로 나눔

step2. 두 번째 조건식인 $S_{4}$ 를 인수분해하여 step1에서 얻은 식을 대입합니다.

$S_{4} = \frac{a (r^{4} - 1)}{r - 1} = 65$

$\frac{a (r^{2} - 1) (r^{2} + 1)}{r - 1} = 65$

$a (r + 1) (r^{2} + 1) = 65$

$20 (r^{2} + 1) = 65$ --- $a (1 + r) = 20$ 을 대입

$r^{2} + 1 = \frac{13}{4}$

$r^{2} = \frac{9}{4}$

$r = \frac{3}{2}$ --- $r > 0$ 이므로

step3. 공비 $r$ 과 첫째항 $a$ 를 구한 뒤, 최종적으로 $a_{2}$ 의 값을 계산합니다.

$a (1 + \frac{3}{2}) = 20 ⟹ a = 8$

$∴ a_{2} = a r = 8 \times \frac{3}{2} = 12$

🔒 막힌 이유

$a_{5} \times (a_{6} + a_{7}) = 20 a_{10}$ 식을 $a$ 와 $r$ 로 표현한 후, 차수가 높아 어떻게 정리해야 할지 막막할 수 있습니다.
$S_{4}$ 의 공식을 전개했을 때, 앞서 구한 $a (1 + r)$ 형태를 발견하지 못하고 계산이 복잡해져 포기할 수 있습니다.

🔑 돌파구

등비수열 문제의 핵심은 모든 항을 첫째항 $a$ 와 공비 $r$ 로 통일하여 표현하는 것입니다. 양변을 공통 인수인 $a r^{9}$ 으로 과감히 나누어 식을 간단히 만드세요.
$S_{4}$ 의 분자 $r^{4} - 1$ 을 합차 공식으로 인수분해하면 $a (r + 1)$ 형태가 숨어있음을 발견할 수 있습니다. 복잡한 연립방정식은 덩어리째 대입하는 것이 유리합니다.

(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 고3 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 등비수열 / 등비수열의 합
난이도	중

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구