(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 수학 5번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 곱의 미분법을 이용하여 도함수를 구한 뒤, 주어진 값을 대입하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 곱의 미분법을 이용하여 $g^{'} (x)$ 를 구합니다.

step2. 구한 $g^{'} (x)$ 식에 $x = 1$ 을 대입하여 $g^{'} (1)$ 의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 곱의 미분법 : 두 미분가능한 함수 $u (x), v (x)$ 에 대하여 ${u (x) v (x)}^{'} = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)$ 가 성립합니다.

5. 구체적 풀이

g (x)

가

(x^{2} + 2 x)

와

f (x)

의 곱으로 표현되어 있으므로,

g^{'} (1)

을 구하려면 먼저

g (x)

를 미분해야 해요. 이때 두 함수의 곱 형태이므로 '곱의 미분법'을 떠올리는 것이 핵심입니다.

step1. 곱의 미분법을 이용하여 $g^{'} (x)$ 구하기

$g (x) = (x^{2} + 2 x) f (x)$ 에서 두 함수가 곱해져 있으므로 미분할 때 곱의 미분법을 사용해야 해요. '앞 미분 뒤 그대로 + 앞 그대로 뒤 미분'의 규칙을 적용하면, $g^{'} (x) = (x^{2} + 2 x)^{'} f (x) + (x^{2} + 2 x) f^{'} (x)$ 가 됩니다. $(x^{2} + 2 x)$ 를 미분하면 $2 x + 2$ 이므로, $g^{'} (x) = (2 x + 2) f (x) + (x^{2} + 2 x) f^{'} (x)$ 로 정리할 수 있어요. 이때 각각을 미분해서 곱하는 실수( $(2 x + 2) f^{'} (x)$ )를 하지 않도록 조심해야 합니다.

step2. $x = 1$ 을 대입하여 $g^{'} (1)$ 계산하기

이제 구한 $g^{'} (x)$ 식에 $x = 1$ 을 대입해 볼게요. $g^{'} (1) = (2 \cdot 1 + 2) f (1) + (1^{2} + 2 \cdot 1) f^{'} (1)$ 이 되죠. 계산하면 $g^{'} (1) = 4 f (1) + 3 f^{'} (1)$ 입니다. 문제에서 $f (1) = 2, f^{'} (1) = 1$ 이라고 주어졌으니 이 값들을 대입하면, $g^{'} (1) = 4 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 8 + 3 = 11$ 이 됩니다. 따라서 정답은 11입니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. $g^{'} (x)$ 구하기

$g (x) = (x^{2} + 2 x) f (x)$

$g^{'} (x) = (2 x + 2) f (x) + (x^{2} + 2 x) f^{'} (x)$ --- 곱의 미분법 이용

step2. $g^{'} (1)$ 계산하기

$g^{'} (1) = (2 + 2) f (1) + (1 + 2) f^{'} (1)$

$g^{'} (1) = 4 (2) + 3 (1) = 11$

$∴ 11$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

두 함수가 곱해진 형태의 미분을 할 때, 각각을 미분해서 곱하는 실수( $(x^{2} + 2 x)^{'} f^{'} (x)$ )를 할 수 있습니다.
미분 후 $x = 1$ 을 대입하는 과정에서 단순 계산 실수가 발생할 수 있습니다.

🔑 돌파구

두 함수의 곱으로 이루어진 함수를 미분할 때는 반드시 곱의 미분법 $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ 을 적용해야 합니다.
미분한 식을 먼저 정확히 적은 후, 주어진 함숫값과 미분계수를 차분히 대입하세요.
(팁: 곱의 미분법은 '앞 미분 뒤 그대로 + 앞 그대로 뒤 미분'으로 기억하면 편리합니다.)

(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 고3 수학 5번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅱ · 미분법 / 곱의 미분법
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구