수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 함수 $f(x)$의 주기 확인하기

먼저 주어진 함수 $f(x)=3\sin \frac{\pi }{2}x$의 주기를 구해볼게요.

$x$의 계수가 $\frac{\pi }{2}$이므로, 주기는 $\frac{2\pi }{\pi /2}=4$가 됩니다.

함수의 주기가 4라는 것은 $x$값이 4만큼 커질 때마다 그래프의 모양이 똑같이 반복된다는 뜻이에요.

step2. 두 점 A, B의 위치 관계 파악하기

문제에서 정삼각형 ABC의 한 변의 길이가 4라고 했어요. 즉, 선분 AB의 길이는 4입니다.

두 점 A, B는 모두 직선 $y=-t$ 위에 있으므로 $y$좌표가 같아요. 따라서 두 점 사이의 거리는 $x$좌표의 차이와 같습니다.

함수의 주기가 4인데, $y$값이 같은 두 점 A, B의 $x$좌표 차이도 4입니다. 이는 점 B가 점 A에서 정확히 한 주기만큼 오른쪽으로 이동한 점이라는 뜻이에요.

점 A의 $x$좌표를 $x_A$라고 하면, 점 B의 $x$좌표는 $x_B=x_A+4$로 쓸 수 있어요.

step3. 점 C의 $x$좌표 구하기

삼각형 ABC는 정삼각형이에요. 정삼각형의 꼭짓점 C에서 밑변 AB에 수선의 발을 내리면, 그 수선의 발은 선분 AB의 중점이 됩니다.

따라서 점 C의 $x$좌표($x_C$)는 점 A와 점 B의 $x$좌표의 딱 중간에 있어야 해요.

$x_C=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{x_A+(x_A+4)}{2}=x_A+2$가 됩니다.

step4. 점 C의 $y$좌표 구하기

점 C는 곡선 $y=f(x)$ 위의 점이므로, 구한 $x_C$를 함수식에 대입해 볼게요.

$y_C=f(x_A+2)=3\sin (\frac{\pi }{2}(x_A+2))$

괄호 안을 전개하면,

$y_C=3\sin (\frac{\pi }{2}{x}_A+\pi )$ 가 됩니다.

여기서 $\sin (\theta +\pi )=-\sin \theta$ 성질을 이용하면,

$y_C=-3\sin \left(\frac{\pi }{2}{x}_A\right)$ 로 간단히 정리할 수 있어요.

그런데 점 A도 곡선 $y=f(x)$ 위의 점이고 $y$좌표가 $-t$이므로, $3\sin \left(\frac{\pi }{2}{x}_A\right)=-t$ 라는 것을 알고 있죠?

이 값을 그대로 대입하면,

$y_C=-(-t)=t$ 가 됩니다.

$t$의 범위가 $0<t<3$이므로 $y_C=t$는 양수이고, 선분 AB의 $y$좌표인 $-t$는 음수입니다. 즉, 점 C는 선분 AB보다 위쪽에 위치한다는 것을 확인할 수 있어요. 방향을 반대로 생각하지 않도록 조심해야 해요.

step5. 정삼각형의 높이를 이용하여 $t$ 구하기

이제 정삼각형의 높이를 두 가지 방법으로 구해서 비교해 볼 거예요.

첫째, 기하학적 공식으로 구한 높이입니다.

한 변의 길이가 4인 정삼각형의 높이는 $\frac{\sqrt{3}}{2}\times 4=2\sqrt{3}$ 이에요.

둘째, 좌표를 이용해 구한 높이입니다.

점 C의 $y$좌표에서 선분 AB의 $y$좌표를 빼면 높이가 되죠.

$y_C-y_A=t-(-t)=2t$ 가 됩니다.

이 두 값이 같아야 하므로,

$2t=2\sqrt{3}$

따라서 $t=\sqrt{3}$ 입니다.

step1. 함수 $f(x)$의 주기 확인하기

$T=\frac{2\pi }{\pi /2}=4$

step2. 두 점 A, B의 위치 관계 파악하기

$A(x_A,-t),B(x_B,-t)$라 하면 $AB=4$

$x_B-x_A=4$   --- 주기가 4이므로 A, B는 한 주기 간격의 점

step3. 점 C의 $x$좌표 구하기

$x_C=\frac{x_A+x_B}{2}=x_A+2$   --- 정삼각형의 꼭짓점 C는 AB의 수직이등분선 위에 있으므로

step4. 점 C의 $y$좌표 구하기

$y_C=f(x_A+2)=3\sin (\frac{\pi }{2}(x_A+2))$

$=3\sin (\frac{\pi }{2}{x}_A+\pi )=-3\sin \left(\frac{\pi }{2}{x}_A\right)$

$=-(-t)=t$

step5. 정삼각형의 높이를 이용하여 $t$ 구하기

정삼각형의 높이 $h=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 4=2\sqrt{3}$

$y_C-y_A=t-(-t)=2t$

$2t=2\sqrt{3}$

$t=\sqrt{3}$

$\therefore ③$