수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 집합 $B$의 원소 간단히 하기

집합 $B$의 원소들을 로그의 성질과 밑변환 공식을 이용해 상용로그로 통일해 볼게요.

$\log 10a=\log 10+\log a=1+\log a$

$\log \frac{10}{a}=\log 10-\log a=1-\log a$

${\log }_{a}10=\frac{1}{\log a}$

${\log }_a\frac{a}{10}={\log }_{a}a-{\log }_{a}10=1-\frac{1}{\log a}$

이렇게 모든 원소를 $\log a$ 에 대한 식으로 나타낼 수 있어요.

step2. 치환 및 범위 구하기

식이 복잡할 때는 공통 부분을 치환하면 대소 관계를 파악하기 쉬워집니다.

$\log a=x$ 라고 치환해 볼까요?

문제에서 $10<a<100$ 이라고 했으므로, 각 변에 상용로그를 취하면 $\log 10<\log a<\log 100$ 이 됩니다.

즉, $1<x<2$ 라는 범위를 얻을 수 있어요.

step3. 대소 관계 파악하기

이제 집합 $B$의 원소들은 $1+x$, $1-x$, $\frac{1}{x}$, $1-\frac{1}{x}$ 가 되었어요.

$1<x<2$ 이므로 각 값의 범위를 생각해 봅시다.

$1+x$ 는 $2<1+x<3$ 이므로 가장 큰 값이에요.

$1-x$ 는 $-1<1-x<0$ 이므로 유일한 음수, 즉 가장 작은 값이에요.

$\frac{1}{x}$ 는 $\frac{1}{2}<\frac{1}{x}<1$ 이고,

$1-\frac{1}{x}$ 는 $0<1-\frac{1}{x}<\frac{1}{2}$ 이에요.

역수를 취하거나 부호를 바꿀 때 부등호의 방향이 바뀌는 것에 주의해야 해요.

따라서 대소 관계는 $1-x<1-\frac{1}{x}<\frac{1}{x}<1+x$ 가 됩니다.

조건 (가)에서 $p<q<r<s$ 라고 했으므로,

$p=1-x$, $q=1-\frac{1}{x}$, $r=\frac{1}{x}$, $s=1+x$ 로 결정됩니다.

step4. $x$의 값 구하기

문제에서 $\overline{PS}=\frac{10}{3}$ 이라고 주어졌어요.

수직선 위에서 두 점 사이의 거리는 큰 좌표에서 작은 좌표를 빼면 되죠.

$\overline{PS}=s-p=(1+x)-(1-x)=2x$

따라서 $2x=\frac{10}{3}$ 이고, $x=\frac{5}{3}$ 이 됩니다.

이 값은 $1<x<2$ 범위 안에 잘 들어가네요.

step5. 최종 정답 계산하기

이제 우리가 구해야 할 것은 $30\times \overline{QR}$ 이에요.

먼저 $\overline{QR}$ 의 길이를 구해볼까요?

$\overline{QR}=r-q=\frac{1}{x}-(1-\frac{1}{x})=\frac{2}{x}-1$

여기에 $x=\frac{5}{3}$ 을 대입하면,

$\overline{QR}=\frac{2}{5/3}-1=\frac{6}{5}-1=\frac{1}{5}$ 이 됩니다.

마지막으로 $30\times \overline{QR}=30\times \frac{1}{5}=6$ 이 됩니다.

step1. 집합 $B$의 원소 간단히 하기

$\log 10a=1+\log a$

$\log \frac{10}{a}=1-\log a$

${\log }_{a}10=\frac{1}{\log a}$

${\log }_a\frac{a}{10}=1-\frac{1}{\log a}$

step2. 치환 및 범위 구하기

$\log a=x$ 라 하면, $10<a<100$ 이므로 $1<x<2$

step3. 대소 관계 파악하기

$1-x<0<1-\frac{1}{x}<\frac{1}{2}<\frac{1}{x}<1<1+x$

$\therefore p=1-x,q=1-\frac{1}{x},r=\frac{1}{x},s=1+x$

step4. $x$의 값 구하기

$\overline{PS}=s-p=(1+x)-(1-x)=2x=\frac{10}{3}$

$\therefore x=\frac{5}{3}$

step5. 최종 정답 계산하기

$\overline{QR}=r-q=\frac{1}{x}-(1-\frac{1}{x})=\frac{2}{x}-1$

$x=\frac{5}{3}$ 대입: $\overline{QR}=\frac{6}{5}-1=\frac{1}{5}$

$\therefore 30\times \overline{QR}=30\times \frac{1}{5}=6$