수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 점 A의 좌표를 대입하여 a 구하기

먼저 점 $A(3,-2)$가 함수 $y=a\tan \frac{\pi }{4}x$의 그래프 위에 있다고 했어요. 그래프 위의 점이라는 것은 함수식에 대입했을 때 등식이 성립한다는 뜻이랍니다.

$x=3,y=-2$를 대입해 볼게요.

$-2=a\tan (\frac{\pi }{4}·3)=a\tan \frac{3\pi }{4}$

여기서 $\tan \frac{3\pi }{4}$의 값을 구해야 해요. $\frac{3\pi }{4}$는 $\pi -\frac{\pi }{4}$와 같으므로, 제2사분면의 각이에요.

제2사분면에서 탄젠트 값은 음수이므로 부호에 신경 써야 해요.

$\tan \frac{3\pi }{4}=\tan (\pi -\frac{\pi }{4})=-\tan \frac{\pi }{4}=-1$이 됩니다.

따라서 $-2=a·(-1)$이 되어 $a=2$라는 것을 알 수 있어요.

이제 함수식은 $f(x)=2\tan \frac{\pi }{4}x$가 완성되었네요.

step2. 평행이동한 점 A'의 좌표 구하기

이제 점 $A(3,-2)$를 평행이동해 볼까요?

$x$축의 방향으로 $6$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 점을 $A^{\prime }$이라고 했어요.

점의 평행이동은 원래 좌표에 이동한 만큼 더해주면 되니까 아주 간단해요.

$A^{\prime }$의 $x$좌표: $3+6=9$

$A^{\prime }$의 $y$좌표: $-2+b=b-2$

따라서 점 $A^{\prime }$의 좌표는 $(9,b-2)$가 됩니다.

step3. 점 A'을 함수식에 대입하여 b 구하기

마지막으로 점 $A^{\prime }(9,b-2)$ 역시 함수 $y=f(x)$의 그래프 위에 있다고 했어요.

step1에서 완성한 함수식 $f(x)=2\tan \frac{\pi }{4}x$에 이 좌표를 대입해 볼게요.

$b-2=2\tan (\frac{\pi }{4}·9)=2\tan \frac{9\pi }{4}$

탄젠트 함수는 주기가 $\pi$인 주기함수라는 성질을 이용하면 큰 각의 계산을 쉽게 할 수 있어요.

$\frac{9\pi }{4}=2\pi +\frac{\pi }{4}$이므로, $\tan \frac{9\pi }{4}=\tan \frac{\pi }{4}=1$이 됩니다.

이 값을 식에 대입하면,

$b-2=2·1=2$

따라서 $b=4$가 되네요.

우리가 구해야 하는 최종 값은 $a+b$이므로, $2+4=6$이 됩니다.

step1. a 구하기

$-2=a\tan \left(\frac{3\pi }{4}\right)$

$-2=a·(-1)$   --- \tan \frac{3\pi}{4} = -1이므로$

$\therefore a=2$

step2. A' 좌표 구하기

A'(3+6, -2+b) =   --- 9, b-2

step3. b 및 a+b 구하기

$b-2=2\tan \left(\frac{9\pi }{4}\right)$   --- A'이 y=f(x) 위의 점이므로$

$b-2=2·1$   --- \tan \frac{9\pi}{4} = \tan \frac{\pi}{4} = 1이므로$

$\therefore b=4$

$\therefore a+b=2+4=6$