2024년 9월 학력평가 수학 2번 풀이 해설 [이해용/실전용]

x

가 무한대로 커질 때, 다항식에서는 가장 차수가 높은 항이 전체의 크기를 결정해요. 따라서 분자와 분모의 가장 높은 차수 항만 비교하면 쉽게 답을 찾을 수 있습니다.

step1. 분자 전개하기

먼저 분자인 $(2 x + 1)^{2}$ 을 전개해 볼게요.

$(2 x + 1)^{2} = (2 x)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 1 + 1^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1$ 이 됩니다.

여기서 $(2 x)^{2}$ 을 계산할 때 $2$ 도 제곱해야 한다는 점을 놓치기 쉬워요. $2 x^{2}$ 이 아니라 $4 x^{2}$ 이 맞습니다.

step2. 최고차항 비교하기

이제 원래 식을 다시 써보면 ${lim}_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2} + 4 x + 5}$ 가 됩니다.

분모의 최고차항은 $x^{2}$ 이고, 분자의 최고차항은 $4 x^{2}$ 입니다.

두 다항식 모두 2차식으로 차수가 같다는 것을 알 수 있어요.

step3. 극한값 계산하기

$x$ 가 무한대로 갈 때 분모와 분자의 차수가 같다면, 극한값은 최고차항의 계수비와 같습니다.

분모의 최고차항 계수는 $1$ , 분자의 최고차항 계수는 $4$ 입니다.

따라서 구하는 극한값은 $\frac{4}{1} = 4$ 가 됩니다.

step1. 분자 전개

${lim}_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1)^{2}}{x^{2} + 4 x + 5}$

$= {lim}_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2} + 4 x + 5}$

step2. 최고차항 비교

--- 분모와 분자의 최고차항이 모두 2차이므로

step3. 극한값 계산

$= \frac{4}{1} = 4$

$∴ ④$

수학여정 - 문제 분석 리포트