2024년 9월 학력평가 수학 3번 풀이 해설 [이해용/실전용]

등차수열 문제는 항상 '첫째항'과 '공차' 두 가지를 구하는 것이 핵심이에요. 주어진 두 개의 조건을 첫째항

a_{1}

과 공차

d

로 표현하면 연립방정식을 통해 쉽게 답을 찾을 수 있습니다.

step1. 조건식을 첫째항과 공차로 표현하기

등차수열의 첫째항을 $a_{1}$ , 공차를 $d$ 라고 해볼게요. 등차수열의 일반항 공식은 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ 입니다.

이 공식을 이용해서 문제에 주어진 두 조건을 식으로 바꿔볼까요?

첫 번째 조건인 $a_{4} = 10$ 은 $a_{1} + 3 d = 10$ 으로 쓸 수 있어요.

두 번째 조건인 $a_{7} - a_{5} = 6$ 은 $(a_{1} + 6 d) - (a_{1} + 4 d) = 6$ 으로 표현할 수 있습니다.

step2. 공차 $d$ 구하기

이제 두 번째 조건식을 정리해볼게요.

$(a_{1} + 6 d) - (a_{1} + 4 d) = 6$ 에서 $a_{1}$ 은 서로 지워지고, $6 d - 4 d = 2 d$ 가 남습니다.

즉, $2 d = 6$ 이 되죠.

등차수열에서 두 항의 차이는 인덱스의 차이만큼의 공차와 같습니다. 즉, $a_{7} - a_{5} = (7 - 5) d = 2 d$ 라는 것을 바로 알 수 있어요.

양변을 2로 나누면 공차 $d = 3$ 을 얻을 수 있습니다.

step3. 첫째항 $a_{1}$ 구하기

구한 공차 $d = 3$ 을 첫 번째 조건식에 대입해볼게요.

$a_{1} + 3 d = 10$ 이었죠?

여기에 $d = 3$ 을 넣으면 $a_{1} + 3 \times 3 = 10$ 이 됩니다.

여기서 $3 d$ 를 계산할 때 덧셈과 곱셈을 헷갈리지 않도록 조심하세요.

$a_{1} + 9 = 10$ 이므로, $a_{1} = 10 - 9 = 1$ 이 됩니다.

따라서 우리가 구하고자 하는 첫째항 $a_{1}$ 의 값은 1입니다.

step1. 조건식을 첫째항과 공차로 표현하기

$a_{4} = a_{1} + 3 d = 10$

$a_{7} - a_{5} = (a_{1} + 6 d) - (a_{1} + 4 d) = 6$

step2. 공차 $d$ 구하기

$2 d = 6$ --- $a_{7} - a_{5} = 2 d$ 이므로

$d = 3$

step3. 첫째항 $a_{1}$ 구하기

$a_{1} + 3 (3) = 10$ --- $a_{4} = 10$ 에 대입하면

$a_{1} + 9 = 10$

$∴ a_{1} = 1$

수학여정 - 문제 분석 리포트