수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $\log a$의 범위 구하기 및 치환

먼저 주어진 $a$의 범위를 이용하여 $\log a$의 범위를 구해볼게요.

$10<a<100$ 이므로 각 변에 상용로그(밑이 10인 로그)를 취하면,

$\log 10<\log a<\log 100$

$1<\log a<2$ 가 됩니다.

계산을 편리하게 하기 위해 $\log a=t$ 라고 치환해 봅시다. 그러면 $t$의 범위는 $1<t<2$ 가 됩니다.

step2. 집합 $B$의 원소들을 $t$에 대한 식으로 정리하기

이제 집합 $B$의 네 원소를 $t$에 대한 식으로 바꿔볼게요.

밑변환 공식을 이용하여 밑이 $a$인 로그를 상용로그로 바꾸는 것이 포인트입니다.

1) $\log 10a=\log 10+\log a=1+t$

2) $\log \frac{10}{a}=\log 10-\log a=1-t$

3) ${\log }_{a}10a={\log }_{a}10+{\log }_{a}a=\frac{1}{\log a}+1=\frac{1}{t}+1$

4) ${\log }_a\frac{a}{10}={\log }_{a}a-{\log }_{a}10=1-\frac{1}{\log a}=1-\frac{1}{t}$

step3. $t$의 범위를 이용하여 네 원소의 대소 관계 파악하기

앞서 구한 $1<t<2$ 를 이용하여 네 식의 값의 범위를 각각 구해봅시다.

$t$의 범위뿐만 아니라 역수인 $\frac{1}{t}$의 범위도 정확히 구해야 대소 비교가 가능합니다.

$1<t<2$ 이므로 역수를 취하면 $\frac{1}{2}<\frac{1}{t}<1$ 이 됩니다.

이를 바탕으로 각 원소의 범위를 확인해 볼까요?

- $1+t$ 는 $1+1<1+t<1+2$ 이므로 $2<1+t<3$

- $1-t$ 는 $1-2<1-t<1-1$ 이므로 $-1<1-t<0$

- $1+\frac{1}{t}$ 는 $1+\frac{1}{2}<1+\frac{1}{t}<1+1$ 이므로 $1.5<1+\frac{1}{t}<2$

- $1-\frac{1}{t}$ 는 $1-1<1-\frac{1}{t}<1-\frac{1}{2}$ 이므로 $0<1-\frac{1}{t}<0.5$

범위를 비교해보면 대소 관계가 명확해집니다.

$1-t<0<1-\frac{1}{t}<0.5<1.5<1+\frac{1}{t}<2<1+t$

따라서 $1-t<1-\frac{1}{t}<1+\frac{1}{t}<1+t$ 순서가 됩니다.

조건 (가)에서 $p<q<r<s$ 이고, 조건 (나)에서 $A=B$ 이므로,

$p=1-t$

$q=1-\frac{1}{t}$

$r=1+\frac{1}{t}$

$s=1+t$

로 확정할 수 있습니다.

step4. $\overline{PS}$의 길이를 이용하여 $t$의 값 구하기

수직선 위에서 두 점 사이의 거리는 큰 좌표에서 작은 좌표를 빼면 됩니다.

$\overline{PS}=s-p=(1+t)-(1-t)=2t$

문제에서 $\overline{PS}=\frac{10}{3}$ 이라고 주어졌으므로,

$2t=\frac{10}{3}$

$t=\frac{5}{3}$ 이 됩니다.

step5. $\overline{QR}$의 길이를 구하고 최종 정답 계산하기

이제 우리가 구해야 할 $\overline{QR}$의 길이를 $t$로 표현해 봅시다.

$\overline{QR}=r-q=(1+\frac{1}{t})-(1-\frac{1}{t})=\frac{2}{t}$

앞서 구한 $t=\frac{5}{3}$ 을 대입하면,

$\overline{QR}=\frac{2}{5/3}=2\times \frac{3}{5}=\frac{6}{5}$ 이 됩니다.

최종적으로 구하는 값은 $30\times \overline{QR}$ 이므로,

$30\times \frac{6}{5}=36$ 입니다.

step1. $\log a$의 범위 구하기 및 치환

$10<a<100⟹1<\log a<2$

$\log a=t$ 라 하면 $1<t<2$

step2. 집합 $B$의 원소들을 $t$에 대한 식으로 정리하기

$\log 10a=1+t$

$\log \frac{10}{a}=1-t$

${\log }_{a}10a={\log }_{a}10+1=\frac{1}{t}+1$

${\log }_a\frac{a}{10}=1-{\log }_{a}10=1-\frac{1}{t}$

step3. $t$의 범위를 이용하여 네 원소의 대소 관계 파악하기

$1<t<2⟹\frac{1}{2}<\frac{1}{t}<1$

$1-t<0$

$0<1-\frac{1}{t}<\frac{1}{2}$

$\frac{3}{2}<1+\frac{1}{t}<2$

$2<1+t<3$

$\therefore 1-t<1-\frac{1}{t}<1+\frac{1}{t}<1+t$

$p=1-t,q=1-\frac{1}{t},r=1+\frac{1}{t},s=1+t$

step4. $\overline{PS}$의 길이를 이용하여 $t$의 값 구하기

$\overline{PS}=s-p=(1+t)-(1-t)=2t=\frac{10}{3}$

$\therefore t=\frac{5}{3}$

step5. $\overline{QR}$의 길이를 구하고 최종 정답 계산하기

$\overline{QR}=r-q=(1+\frac{1}{t})-(1-\frac{1}{t})=\frac{2}{t}$

$\overline{QR}=\frac{2}{5/3}=\frac{6}{5}$

$\therefore 30\times \overline{QR}=30\times \frac{6}{5}=36$