2024년 9월 학력평가 수학 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]

등차수열 문제에서 미지수(첫째항, 공차)는 2개인데 조건식이 1개뿐이라면, 미지수를 각각 구하는 것이 아니라 식 전체의 값을 구하는 문제일 가능성이 높아요. 항들의 인덱스(아래첨자)에 주목해 보세요.

step1. 주어진 조건을 첫째항과 공차로 표현하기

등차수열의 첫째항을 $a$ , 공차를 $d$ 라고 해볼게요. 그러면 각 항은 $a_{n} = a + (n - 1) d$ 로 나타낼 수 있어요.

주어진 조건 $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 18$ 에 이를 대입해 봅시다.

$a_{3} = a + 2 d$

$a_{5} = a + 4 d$

$a_{7} = a + 6 d$

이 세 항을 더하면,

$(a + 2 d) + (a + 4 d) + (a + 6 d) = 3 a + 12 d$ 가 됩니다.

따라서 $3 a + 12 d = 18$ 이고, 양변을 3으로 나누면 $a + 4 d = 6$ 이라는 식을 얻을 수 있어요.

여기서 $a$ 와 $d$ 의 값을 각각 구하려고 하면 식이 부족해서 막힐 수 있어요. 이럴 때는 구한 식을 그대로 두고 다음 단계로 넘어가는 것이 중요해요.

step2. 구하고자 하는 값을 식으로 나타내기

이제 우리가 구해야 하는 $a_{4} + a_{6}$ 을 똑같이 $a$ 와 $d$ 로 표현해 볼게요.

$a_{4} = a + 3 d$

$a_{6} = a + 5 d$

이 둘을 더하면,

$a_{4} + a_{6} = (a + 3 d) + (a + 5 d) = 2 a + 8 d$ 가 됩니다.

step3. 두 식의 관계를 이용하여 답 구하기

step1에서 구한 식과 step2에서 구한 식을 비교해 볼까요?

우리가 알고 있는 것은 $a + 4 d = 6$ 이고, 구해야 하는 것은 $2 a + 8 d$ 예요.

$2 a + 8 d$ 는 $a + 4 d$ 의 정확히 2배라는 것을 알 수 있어요. 즉, $2 a + 8 d = 2 (a + 4 d)$ 입니다.

따라서 구하고자 하는 값은 $2 \times 6 = 12$ 가 됩니다.

(참고로, 등차중항의 성질을 이용하면 더 빠르게 풀 수도 있어요. $a_{3} + a_{7} = 2 a_{5}$ 이므로 $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 3 a_{5} = 18$ 에서 $a_{5} = 6$ 을 바로 얻고, $a_{4} + a_{6} = 2 a_{5}$ 이므로 $2 \times 6 = 12$ 로 계산할 수 있답니다.)

step1. 주어진 조건을 첫째항과 공차로 표현하기

$a_{3} + a_{5} + a_{7} = 18$

$(a + 2 d) + (a + 4 d) + (a + 6 d) = 18$

$3 a + 12 d = 18$

$a + 4 d = 6$

step2. 구하고자 하는 값을 식으로 나타내기

$a_{4} + a_{6} = (a + 3 d) + (a + 5 d)$

$= 2 a + 8 d$

step3. 두 식의 관계를 이용하여 답 구하기

$= 2 (a + 4 d)$ --- $a + 4 d = 6$ 을 대입하면

$= 2 \times 6 = 12$

$∴ 12$

2024년 9월 학력평가 고2 수학 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학 Ⅰ · 등차수열 / 등차중항
난이도	하

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