수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 좌표 잡기

위 그림에 좌표축을 얹으면 네 꼭짓점이 정수 좌표로 정리됩니다.

$\angle \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{D}=\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ 이고 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$ 이므로 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ 는 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ 와 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}$ 가 평행한 등변사다리꼴입니다.

$A(0,0)$, $B(24,0)$ 으로 두고 $\angle \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{D}=\phi$ 라 하면

$D(13\sqrt{2}\cos \phi ,13\sqrt{2}\sin \phi )$, $C(24-13\sqrt{2}\cos \phi ,13\sqrt{2}\sin \phi )$

입니다. 계산을 간단히 하려고 $t=\sqrt{2}\cos \phi$, $h=13\sqrt{2}\sin \phi$ 로 두면 $D(13t,h)$, $C(24-13t,h)$ 입니다.

step2. 조건 (나)로 사다리꼴 확정하기

위 그림에서 파란 두 화살표가 같은 방향을 가리켜야 사각형이 꼬이지 않아요.

$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}=(24,0)$, $\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{C}}=(24-26t,0)$ 이므로

$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}·\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{C}}=24(24-26t)=576-624t$

입니다. 또 $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}=13\sqrt{2}(\cos \phi ,\sin \phi )$, $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}=13\sqrt{2}(-\cos \phi ,\sin \phi )$ 이므로

$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}·\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}=338({\sin }^2\phi -{\cos }^2\phi )=-338\cos 2\phi =-338(t^2-1)$

입니다 ($2{\cos }^2\phi =t^2$ 이므로 $\cos 2\phi =t^2-1$).

$\sqrt{2}\cos \phi$ 를 통째로 $t$ 로 두면 $\cos 2\phi$ 가 $t^2-1$ 이라는 간단한 꼴이 되어 조건 (나)가 $t$ 에 대한 이차방정식으로 정리됩니다.

조건 (나)에서

$576-624t=338-338t^2$, $338t^2-624t+238=0$, $169t^2-312t+119=0$

$(13t-7)(13t-17)=0$ 이므로 $t={\displaystyle \frac{7}{13}}$ 또는 $t={\displaystyle \frac{17}{13}}$ 입니다.

두 근을 모두 쓰면 안 됩니다. $t={\displaystyle \frac{17}{13}}$ 이면 $13t=17$ 이라 $\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{C}}=(24-34,0)=(-10,0)$ 으로 $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}=(24,0)$ 과 방향이 반대가 됩니다. 그러면 $A\to B\to C\to D$ 로 이은 사각형이 스스로 꼬여 사다리꼴이 되지 않아요.

따라서 $t={\displaystyle \frac{7}{13}}$ 이고 $13t=7$ 입니다. 이때 $\cos \phi ={\displaystyle \frac{7}{13\sqrt{2}}}$ 이므로 $\sin \phi ={\displaystyle \frac{17}{13\sqrt{2}}}$ 이고 $h=13\sqrt{2}·{\displaystyle \frac{17}{13\sqrt{2}}}=17$ 입니다.

$A(0,0)$, $B(24,0)$, $C(17,17)$, $D(7,17)$

($\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}=\sqrt{7^2+{17}^2}=\sqrt{338}=13\sqrt{2}$ 로 맞고, $\cos \phi >0$ 이라 $\phi <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ 라는 조건도 만족합니다.)

step3. 내적 조건을 원으로 바꾸어 $X$ 구하기

위 그림의 빨간 두 원이 그 조건을 나타내고, 두 원이 만나는 곳이 점 X 입니다.

$\overrightarrow{\mathrm{X}\mathrm{A}}·\overrightarrow{\mathrm{X}\mathrm{D}}=0$ 은 두 벡터가 수직, 즉 $\angle \mathrm{A}\mathrm{X}\mathrm{D}={90}^{\circ }$ 라는 뜻입니다. 따라서 $X$ 는 선분 $\mathrm{A}\mathrm{D}$ 를 지름으로 하는 원 위에 있습니다. 마찬가지로 $\overrightarrow{\mathrm{X}\mathrm{B}}·\overrightarrow{\mathrm{X}\mathrm{C}}=0$ 은 선분 $\mathrm{B}\mathrm{C}$ 를 지름으로 하는 원 위에 있다는 뜻이에요.

$X(x,y)$ 라 하면 두 원의 방정식은

$x(x-7)+y(y-17)=0$, 즉 $x^2+y^2-7x-17y=0$

$(x-24)(x-17)+y(y-17)=0$, 즉 $x^2+y^2-41x-17y+408=0$

입니다. 두 식을 빼면 이차항이 모두 지워져

$34x-408=0$, $x=12$

가 됩니다. 이를 첫 식에 넣으면

$144+y^2-84-17y=0$, $y^2-17y+60=0$

이고, 판별식이 ${17}^2-4·60=49>0$ 이므로 서로 다른 두 실근을 가집니다. 실제로 $y=5$ 또는 $y=12$ 이므로

$X_1(12,5)$, $X_2(12,12)$

입니다.

step4. 내적의 값의 합 구하기

위 그림에서 두 교점 X₁, X₂ 의 x 좌표가 모두 같다는 점이 계산을 짧게 해 줍니다.

$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}=(7,17)$ 이고 $A$ 가 원점이므로 $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{X}}=(x,y)$ 입니다. 따라서

$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}·\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{X}}=7x+17y$

입니다.

두 점의 $x$ 좌표가 모두 $12$ 이고, $y$ 좌표는 $y^2-17y+60=0$ 의 두 근이므로 근과 계수의 관계에서 합이 $17$ 입니다. 근을 따로 구하지 않아도 합을 계산할 수 있어요.

$(7·12+17y_1)+(7·12+17y_2)=7·12·2+17(y_1+y_2)=168+17·17=168+289=457$

직접 확인해도 $X_1(12,5)$ 에서 $84+85=169$, $X_2(12,12)$ 에서 $84+204=288$ 이고 $169+288=457$ 로 같습니다.

따라서 정답은 $457$ 입니다.

step1. 좌표

$A(0,0)$, $B(24,0)$, $D(13t,h)$, $C(24-13t,h)$, $t=\sqrt{2}\cos \phi$

step2. 조건 (나

$576-624t=-338(t^2-1)$

$169t^2-312t+119=0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{7}{13}},{\displaystyle \frac{17}{13}}$

$t={\displaystyle \frac{17}{13}}$ 은 $\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{C}}$ 가 $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ 와 반대 방향 → 사다리꼴 아님

$A(0,0)$, $B(24,0)$, $C(17,17)$, $D(7,17)$

step3. 두 원

$x(x-7)+y(y-17)=0$

$(x-24)(x-17)+y(y-17)=0$

빼면 $34x=408\Rightarrow x=12$, $y^2-17y+60=0$

step4. 합

$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}·\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{X}}=7x+17y$

$7·12·2+17·17=168+289=457$   --- 근과 계수의 관계

∴ $457$