수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 세 성분에 내분점 공식 적용하기

선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$ 를 $3:2$ 로 내분하는 점의 좌표는 각 성분에 대해 ${\displaystyle \frac{3\times (B\text{의 좌표})+2\times (A\text{의 좌표})}{3+2}}$ 입니다.

$x$ 성분 : ${\displaystyle \frac{3·6+2·a}{5}}={\displaystyle \frac{18+2a}{5}}$

$y$ 성분 : ${\displaystyle \frac{3·b+2·(-4)}{5}}={\displaystyle \frac{3b-8}{5}}$

$z$ 성분 : ${\displaystyle \frac{3·5+2·0}{5}}={\displaystyle \frac{15}{5}}=3$

$m:n$ 으로 내분할 때 $m$ 이 곱해지는 쪽은 뒤에 오는 점 $B$ 입니다. $z$ 성분에는 미지수가 없으므로 이 값이 주어진 $3$ 과 맞는지 먼저 보면, 비를 뒤집어 쓰지 않았는지 즉시 확인됩니다. 실제로 $3$ 이 나와 맞습니다.

step2. $a$, $b$ 구하기

$x$ 성분이 $4$ 이므로

${\displaystyle \frac{18+2a}{5}}=4$, $18+2a=20$, $a=1$

$y$ 성분이 $-1$ 이므로

${\displaystyle \frac{3b-8}{5}}=-1$, $3b-8=-5$, $b=1$

$y$ 성분에서 $A$ 의 좌표가 $-4$ 라는 음수라서 $2\times (-4)=-8$ 의 부호를 놓치기 쉽습니다. 괄호를 씌워 대입하는 습관이 도움이 됩니다.

따라서

$a+b=1+1=2$

입니다. 실제로 $A(1,-4,0)$, $B(6,1,5)$ 의 $3:2$ 내분점은 $({\displaystyle \frac{20}{5}},{\displaystyle \frac{-5}{5}},{\displaystyle \frac{15}{5}})=(4,-1,3)$ 으로 주어진 좌표와 같습니다.

따라서 정답은 ②입니다.

step1. 성분별 내분점

$x:{\displaystyle \frac{18+2a}{5}}=4$

$y:{\displaystyle \frac{3b-8}{5}}=-1$

$z:{\displaystyle \frac{15}{5}}=3$   --- 미지수가 없어 검산용

step2. 풀이

$a=1$, $b=1$

$a+b=2$

$\therefore ②$