수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 좌표 잡기

위 그림에서 회색 점선이 두 밑면의 중심을 잇는 축이고, 아래 밑면의 중심 O 를 원점으로 잡습니다.

밑면의 지름이 $6$ 이므로 반지름은 $3$ 입니다. 아래 밑면의 중심을 원점으로 하고 지름 $\mathrm{A}\mathrm{B}$ 를 $x$ 축 위에 놓겠습니다.

$A(-3,0,0)$, $B(3,0,0)$

위 밑면은 평면 $z=3$ 위에 있는 중심 $(0,0,3)$, 반지름 $3$ 인 원입니다. 따라서 그 둘레 위의 점은 $(3\cos \theta ,3\sin \theta ,3)$ 꼴로 쓸 수 있습니다.

step2. $C$ 의 위치 확정하기

위 그림에서 빨간 선분 BC 가 옆면의 모선과 겹쳐 있는 것이 그 뜻입니다.

$C=(3\cos \theta ,3\sin \theta ,3)$ 이라 하면

${\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2=(3\cos \theta -3{)}^2+(3\sin \theta {)}^2+3^2=9-18\cos \theta +9+9=27-18\cos \theta$

입니다. 이것이 $3^2=9$ 이므로

$27-18\cos \theta =9$, $\cos \theta =1$, $\theta =0$

따라서 $C(3,0,3)$ 으로 점 $B$ 의 바로 위입니다.

아래 밑면의 점과 위 밑면의 점 사이의 거리는 $\sqrt{(\text{수평 거리}{)}^2+3^2}$ 이므로 항상 $3$ 이상이고, $3$ 이 되는 것은 수평 거리가 $0$ 일 때뿐입니다. $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$ 가 높이와 같은 값으로 주어졌다는 것 자체가 '$C$ 는 $B$ 의 바로 위'라는 뜻이에요. 그림에서 $\mathrm{B}\mathrm{C}$ 가 수직 선분으로 그려진 것과 일치합니다.

step3. $D$ 의 좌표 구하기

위 그림에서 파란 점선 두 개가 위 밑면의 중심에서 C 와 D 로 그은 반지름이에요.

$D=(3\cos \phi ,3\sin \phi ,3)$ 이라 하면 $C$ 와 $D$ 는 둘 다 위 밑면의 둘레 위에 있으므로 $z$ 좌표가 같습니다. 따라서

${\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}}^2=(3\cos \phi -3{)}^2+(3\sin \phi {)}^2=18-18\cos \phi$

이고 이것이 ${\left(2\sqrt{6}\right)}^2=24$ 이므로

$18-18\cos \phi =24$, $\cos \phi =-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

입니다. 그러면 ${\sin }^2\phi =1-{\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{8}{9}}$ 이므로 $3\sin \phi =\pm 2\sqrt{2}$ 입니다. 두 경우는 평면 $y=0$ 에 대하여 대칭이라 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D}$ 의 넓이가 같으므로 $D(-1,2\sqrt{2},3)$ 로 두겠습니다.

step4. 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D}$ 의 넓이 구하기

위 그림에서 보라색 삼각형이 구하려는 삼각형 ABD 입니다.

밑변을 $\mathrm{A}\mathrm{B}$ 로 잡으면 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=6$ 이고, 이 변은 $x$ 축 위에 있습니다. 따라서 높이는 점 $D$ 에서 $x$ 축까지의 거리이고, 그 값은

$\sqrt{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2+3^2}=\sqrt{8+9}=\sqrt{17}$

입니다.

$D$ 가 위 밑면에 있다는 것을 잊고 밑면 위에서의 수평 거리 $2\sqrt{2}$ 만 높이로 쓰면 안 됩니다. $z$ 좌표 $3$ 만큼 떠 있으므로 $y$ 와 $z$ 를 함께 넣어야 해요.

따라서 넓이는

${\displaystyle \frac{1}{2}}\times 6\times \sqrt{17}=3\sqrt{17}$

입니다.

따라서 정답은 ⑤입니다.

step1. 좌표

$A(-3,0,0)$, $B(3,0,0)$, 위 밑면 $z=3$

step2. C

${\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2=27-18\cos \theta =9\Rightarrow \cos \theta =1$

$C(3,0,3)$   --- $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$ 가 높이와 같으므로 B 바로 위

step3. D

${\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}}^2=18-18\cos \phi =24\Rightarrow \cos \phi =-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

$D(-1,2\sqrt{2},3)$

step4. 넓이

높이 $=\sqrt{8+9}=\sqrt{17}$

${\displaystyle \frac{1}{2}}\times 6\times \sqrt{17}=3\sqrt{17}$

$\therefore ⑤$