수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 포물선의 정의로 점 $A$ 구하기

위 그림에서 파란 점선이 점 A 에서 준선까지의 거리이고, 그 길이가 초점까지의 거리와 같습니다.

포물선 $y^2=4px$ 의 초점은 $(p,0)$ 이고 준선은 $x=-p$ 입니다.

포물선 위의 점에서 초점까지의 거리는 준선까지의 거리와 같습니다. 점 $A(x_1,y_1)$ 의 준선까지의 거리는 $x_1-(-p)=x_1+p$ 이므로, 거리 공식을 쓰지 않고도 $x_1+p=3p$ 라는 간단한 식을 얻습니다.

따라서 $x_1=2p$ 이고, 포물선 위의 점이므로

$y_1^2=4p·2p=8p^2$

입니다. 점 $A$ 가 제1사분면 위에 있으므로 $y_1=2\sqrt{2}p$ 이고

$A(2p,2\sqrt{2}p)$

입니다.

step2. $B$, $C$ 구하기

위 그림에서 초록 직선이 접선 l, 자홍색 직선이 그에 수직인 직선이고 각각 y 축과 만나는 점이 B, C 예요.

포물선 $y^2=4px$ 위의 점 $(x_1,y_1)$ 에서의 접선은 $y_{1}y=2p(x+x_1)$ 이므로

$2\sqrt{2}py=2p(x+2p)$, 즉 $\sqrt{2}y=x+2p$

입니다. 정리하면 $y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}x+\sqrt{2}p$ 이므로 접선 $l$ 의 기울기는 ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ 이고, $x=0$ 을 넣으면

$B(0,\sqrt{2}p)$

입니다.

$l$ 에 수직인 직선의 기울기는 $-\sqrt{2}$ 이고 점 $A$ 를 지나므로

$y-2\sqrt{2}p=-\sqrt{2}(x-2p)$

이고, $x=0$ 을 넣으면 $y=2\sqrt{2}p+2\sqrt{2}p=4\sqrt{2}p$ 이므로

$C(0,4\sqrt{2}p)$

입니다.

수직인 직선의 기울기를 $-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ 로 쓰기 쉬운데, 음의 '역수'이므로 $-{\displaystyle \frac{1}{1/\sqrt{2}}}=-\sqrt{2}$ 입니다.

step3. 넓이를 세워 $p$ 구하기

위 그림에서 빨간 선분 BC 가 밑변이고, 높이는 점 A 에서 y 축까지의 거리입니다.

$B$ 와 $C$ 는 둘 다 $y$ 축 위에 있으므로 선분 $\mathrm{B}\mathrm{C}$ 를 밑변으로 잡습니다.

$\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=4\sqrt{2}p-\sqrt{2}p=3\sqrt{2}p$

밑변이 $y$ 축 위에 있으므로 높이는 점 $A$ 에서 $y$ 축까지의 거리, 즉 $A$ 의 $x$ 좌표인 $2p$ 입니다.

따라서 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}$ 의 넓이는

${\displaystyle \frac{1}{2}}\times 3\sqrt{2}p\times 2p=3\sqrt{2}{p}^2$

이고, 이것이 $16\sqrt{2}$ 이므로

$3\sqrt{2}{p}^2=16\sqrt{2}$, $p^2={\displaystyle \frac{16}{3}}$, $p={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}$

입니다 ($p>0$).

따라서 정답은 ③입니다.

step1. A

$x_1+p=3p\Rightarrow x_1=2p$   --- 포물선의 정의

$y_1^2=8p^2\Rightarrow y_1=2\sqrt{2}p$

step2. B, C

$2\sqrt{2}py=2p(x+2p)\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}x+\sqrt{2}p$

$B(0,\sqrt{2}p)$

법선 기울기 $-\sqrt{2}$ → $C(0,4\sqrt{2}p)$

step3. 넓이

$\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=3\sqrt{2}p$, 높이 $=2p$

$3\sqrt{2}{p}^2=16\sqrt{2}\Rightarrow p={\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}$

$\therefore ③$