수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 단축에서 $b$ 를 구하고 방정식 세우기

두 초점이 $(\pm c,0)$ 으로 $x$ 축 위에 있으므로 타원의 방정식을

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1(a>b>0)$

로 놓습니다. 이때 단축은 $y$ 축 방향이고 그 길이는 $2b$ 입니다.

단축의 길이가 $6$ 이라고 해서 $b=6$ 이 아닙니다. $2b=6$ 이므로 $b=3$ 이에요. 장축·단축·초점 사이 거리는 모두 반값의 $2$ 배로 주어진다는 점을 기억하세요.

따라서 $b=3$ 이고 방정식은 ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=1$ 입니다.

step2. 지나는 점을 대입해 $a^2$ 구하기

위 그림에서 점 (4, √5) 를 지난다는 조건이 타원의 가로 폭을 정해 줍니다.

타원이 점 $(4,\sqrt{5})$ 를 지나므로 대입하면

${\displaystyle \frac{16}{a^2}}+{\displaystyle \frac{{\left(\sqrt{5}\right)}^2}{9}}=1$, 즉 ${\displaystyle \frac{16}{a^2}}+{\displaystyle \frac{5}{9}}=1$

입니다. 정리하면

${\displaystyle \frac{16}{a^2}}=1-{\displaystyle \frac{5}{9}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$, $a^2=36$

입니다. $a^2=36>9=b^2$ 이므로 처음에 잡은 $a>b$ 가 맞고, 초점이 $x$ 축 위라는 것과도 모순이 없습니다.

step3. 초점 관계식으로 마무리하기

위 그림에서 빨간 두 점이 초점이고, 그 사이의 거리가 구하는 값이에요.

초점이 $x$ 축 위인 타원에서는

$c^2=a^2-b^2$

이므로

$c^2=36-9=27$, $c=3\sqrt{3}$

입니다.

구하는 것은 $c$ 가 아니라 두 초점 사이의 거리 $\overline{{\mathrm{F}\mathrm{F}}^{\prime }}$ 입니다. $F(c,0)$ 과 $F^{\prime }(-c,0)$ 사이의 거리는 $2c$ 예요.

$\overline{{\mathrm{F}\mathrm{F}}^{\prime }}=2c=6\sqrt{3}$

따라서 정답은 ④입니다.

step1. 단축

$2b=6\Rightarrow b=3$

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=1$

step2. 대입

${\displaystyle \frac{16}{a^2}}+{\displaystyle \frac{5}{9}}=1\Rightarrow a^2=36$

step3. 초점

$c^2=36-9=27$, $c=3\sqrt{3}$

$\overline{{\mathrm{F}\mathrm{F}}^{\prime }}=2c=6\sqrt{3}$

$\therefore ④$