수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 두 정삼각형을 읽고 좌표 잡기

위 그림은 평면 ABC 를 정면에서 본 것으로, 파란 선분이 외접원의 반지름입니다.

조건 (나)에서 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$ 이므로 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ 는 정삼각형이고, $\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$ 이므로 삼각형 $\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ 도 같은 크기의 정삼각형입니다. 그 한 변의 길이를 $s$ 라 하겠습니다.

$\overline{\mathrm{O}\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{O}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{O}\mathrm{C}}=3$ 이므로 점 $O$ 에서 평면 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ 에 내린 수선의 발은 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ 의 외심입니다. 그 외접원의 반지름을 $r$ 라 하면 정삼각형에서 $s=\sqrt{3}r$ 입니다.

외심을 원점으로 하고 평면 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ 를 $xy$ 평면으로 하는 좌표를 잡으면

$A(r,0,0)$, $B(-{\displaystyle \frac{r}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}r,0)$, $C(-{\displaystyle \frac{r}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}r,0)$, $O(0,0,t)$

이고 $\overline{\mathrm{O}\mathrm{A}}=3$ 에서 $r^2+t^2=9$ 입니다.

구 위의 세 점이 이루는 삼각형에서 구의 중심은 언제나 그 외심 바로 위(또는 아래)에 있습니다. 이 사실 덕분에 좌표를 잡는 순간 $O$ 의 좌표가 $(0,0,t)$ 하나로 줄어듭니다.

step2. 조건 (가)로 $D$ 와 $r$ 확정하기

위 그림은 평면 y = 0 으로 자른 단면이고, 파란 선분 OD 가 수평이라는 것이 조건 (가)의 뜻이에요.

$\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$ 이므로 점 $D$ 는 선분 $\mathrm{B}\mathrm{C}$ 의 수직이등분면 위에 있고, 이 좌표에서 그 평면은 $y=0$ 입니다. 따라서 $D(d,0,e)$ 로 둘 수 있습니다.

조건 (가)에서 직선 $\mathrm{O}\mathrm{D}$ 가 평면 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, 즉 $z=0$ 인 평면과 평행하므로 $O$ 와 $D$ 의 $z$ 좌표가 같아야 합니다. 즉 $e=t$ 입니다.

그러면 $\overline{\mathrm{O}\mathrm{D}}=3$ 이 $|d|=3$ 을 뜻하므로 $d=3$ 또는 $d=-3$ 입니다.

${\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}}^2=s^2=3r^2$ 에 대입하면

${(d+{\displaystyle \frac{r}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}{r}^2+t^2=3r^2$

이고 $t^2=9-r^2$ 이므로 ${(d+{\displaystyle \frac{r}{2}})}^2={\displaystyle \frac{13}{4}}{r}^2-9$ 입니다.

$d=3$ 이면 $r^2-r-6=0$ 에서 $r=3$ 이고 이때 $t=0$ 이라 $D(3,0,0)=A$ 가 되어 네 점이 서로 다르다는 조건에 어긋납니다.

$d=-3$ 이면 $r^2+r-6=0$ 에서 $r=2$ 이므로 $t=\sqrt{5}$, $s=2\sqrt{3}$ 입니다.

$d=3$ 인 경우를 계산만 하고 버리지 않으면 안 됩니다. '서로 다른 네 점'이라는 문구가 이 경우를 거르는 근거예요.

정리하면 $O(0,0,\sqrt{5})$, $A(2,0,0)$, $B(-1,\sqrt{3},0)$, $C(-1,-\sqrt{3},0)$ 입니다.

step3. 교선 $\mathrm{O}\mathrm{A}$ 에 대한 이면각 구하기

위 그림의 삼각형 BHC 가 교선 OA 에 수직인 방향에서 본 이면각입니다.

두 평면 $\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{B}$ 와 $\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{C}$ 는 직선 $\mathrm{O}\mathrm{A}$ 를 공유합니다. 이면각은 이 교선에 수직인 방향에서 재야 합니다.

점 $B$ 에서 직선 $\mathrm{O}\mathrm{A}$ 에 내린 수선의 발을 $H$ 라 하겠습니다. 직선 $\mathrm{O}\mathrm{A}$ 위의 점을 $(2u,0,\sqrt{5}(1-u))$ 로 두고 $\mathrm{H}\mathrm{B}$ 가 $\mathrm{O}\mathrm{A}$ 방향과 수직이 되도록 하면 $3-9u=0$, 즉 $u={\displaystyle \frac{1}{3}}$ 이므로

$H({\displaystyle \frac{2}{3}},0,{\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{3}})$

입니다. 이때

${\overline{\mathrm{H}\mathrm{B}}}^2={(-1-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2+3+{\left({\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{3}}\right)}^2={\displaystyle \frac{25}{9}}+3+{\displaystyle \frac{20}{9}}=8$

이므로 $\overline{\mathrm{H}\mathrm{B}}=2\sqrt{2}$ 입니다.

$B$ 와 $C$ 는 평면 $y=0$ 에 대하여 대칭이고 직선 $\mathrm{O}\mathrm{A}$ 는 그 평면 위에 있으므로, $C$ 에서 내린 수선의 발도 같은 점 $H$ 입니다. 따라서 $\angle \mathrm{B}\mathrm{H}\mathrm{C}$ 가 바로 두 평면이 이루는 이면각이에요. 이 대칭 덕분에 수선의 발을 두 번 구할 필요가 없습니다.

삼각형 $\mathrm{B}\mathrm{H}\mathrm{C}$ 에서 $\overline{\mathrm{H}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{H}\mathrm{C}}=2\sqrt{2}$, $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=s=2\sqrt{3}$ 이므로 코사인법칙에 의해

$\cos \angle \mathrm{B}\mathrm{H}\mathrm{C}={\displaystyle \frac{8+8-12}{2\times 2\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{4}{16}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

입니다.

step4. 정사영의 넓이 구하기

삼각형 $\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{B}$ 에서 밑변을 $\mathrm{O}\mathrm{A}$ 로 잡으면 $\overline{\mathrm{O}\mathrm{A}}=3$ 이고, 높이는 점 $B$ 에서 직선 $\mathrm{O}\mathrm{A}$ 까지의 거리인 $\overline{\mathrm{H}\mathrm{B}}=2\sqrt{2}$ 입니다. 따라서

$△\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{B}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 3\times 2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

입니다. 정사영의 넓이는 원래 넓이에 두 평면이 이루는 각의 코사인값을 곱한 것이므로

$3\sqrt{2}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{4}}$

입니다.

따라서 정답은 ②입니다.

step1. 좌표

$\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$·$\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ 정삼각형, 한 변 $s=\sqrt{3}r$

$A(r,0,0)$, $B(-{\displaystyle \frac{r}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}r,0)$, $C(-{\displaystyle \frac{r}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}r,0)$, $O(0,0,t)$, $r^2+t^2=9$

step2. 조건 (가

$D(d,0,t)$, $|d|=3$   --- $\mathrm{O}\mathrm{D}\Vert$ 평면 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$

${(d+{\displaystyle \frac{r}{2}})}^2={\displaystyle \frac{13}{4}}{r}^2-9$

$d=-3\Rightarrow r=2$, $t=\sqrt{5}$, $s=2\sqrt{3}$   --- $d=3$ 이면 $D=A$

step3. 이면각

$H({\displaystyle \frac{2}{3}},0,{\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{3}})$, $\overline{\mathrm{H}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{H}\mathrm{C}}=2\sqrt{2}$

$\cos \angle \mathrm{B}\mathrm{H}\mathrm{C}={\displaystyle \frac{8+8-12}{16}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

step4. 정사영

$△\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{B}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 3\times 2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

$3\sqrt{2}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{4}}$

$\therefore ②$