수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 대칭성으로 길이 정리하기

위 그림에서 두 빨간 점 A, B 가 y 축에 대하여 대칭인 것이 이 관계의 근거입니다.

쌍곡선 ${\displaystyle \frac{x^2}{16}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$ 에서 $a=4$ 이므로 쌍곡선 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 차의 절댓값은 $2a=8$ 입니다.

점 $P$ 는 $y$ 축 위에 있고 $F$, $F^{\prime }$ 은 $y$ 축에 대하여 대칭이므로 선분 $\mathrm{P}\mathrm{F}$ 와 선분 ${\mathrm{P}\mathrm{F}}^{\prime }$ 도 $y$ 축에 대하여 대칭이고, 따라서 그 위의 교점 $A$ 와 $B$ 도 대칭입니다.

$\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{P}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{B}\mathrm{F}}=\overline{{\mathrm{A}\mathrm{F}}^{\prime }}$, $\overline{{\mathrm{B}\mathrm{F}}^{\prime }}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}$

또 $A$ 는 오른쪽 가지 위의 점이므로 쌍곡선의 정의에서

$\overline{{\mathrm{A}\mathrm{F}}^{\prime }}-\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}=8$

입니다.

대칭성 덕분에 등장하는 길이가 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}$ 하나로 줄어듭니다. $\overline{{\mathrm{A}\mathrm{F}}^{\prime }}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}+8$ 이고 $B$ 쪽 길이는 모두 $A$ 쪽 길이로 바꿔 쓸 수 있어요.

step2. 타원의 정의 적용하기

두 초점이 $A$, $B$ 인 타원이 점 $F$ 와 점 $P$ 를 모두 지나므로, 타원의 정의에 의해 두 점에서 두 초점까지의 거리의 합이 같습니다.

$\overline{\mathrm{F}\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{F}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{P}\mathrm{B}}$

step1에서 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{B}}=\overline{{\mathrm{A}\mathrm{F}}^{\prime }}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}+8$ 이고 $\overline{\mathrm{P}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}$ 이므로

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}+(\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}+8)=2\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}$, 즉 $\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}+4$

입니다. 또 $A$ 가 선분 $\mathrm{P}\mathrm{F}$ 위의 점이므로

$\overline{\mathrm{P}\mathrm{F}}=\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}=2\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}+4$

입니다.

step3. 각 조건에서 각의 크기 정하기

위 그림에서 초록 선분 두 개가 직선 AF' 과 점 P 를 지나는 수평선이고, 그 교점이 C 예요.

점 $P$ 에서 $y$ 축의 아래 방향과 반직선 $\mathrm{P}\mathrm{F}$ 가 이루는 각을 $\theta$ 라 하겠습니다. 대칭성에서 반직선 ${\mathrm{P}\mathrm{F}}^{\prime }$ 도 같은 각 $\theta$ 를 이루므로

$\angle {\mathrm{F}\mathrm{P}\mathrm{F}}^{\prime }=2\theta$

입니다. $A$ 가 선분 $\mathrm{P}\mathrm{F}$ 위에 있으므로 반직선 $\mathrm{P}\mathrm{A}$ 는 반직선 $\mathrm{P}\mathrm{F}$ 와 같고, 따라서 $\angle {\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{F}}^{\prime }=2\theta$ 입니다.

한편 직선 $\mathrm{P}\mathrm{C}$ 는 $x$ 축에 평행합니다. 반직선 $\mathrm{P}\mathrm{A}$ 는 아래 방향에서 $\theta$ 만큼 기울어져 있으므로 수평 방향과 이루는 각은

$\angle \mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{C}={90}^{\circ }-\theta$

입니다.

$\angle {\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{F}}^{\prime }$ 을 $\angle {\mathrm{F}\mathrm{P}\mathrm{F}}^{\prime }$ 과 다른 각으로 보면 안 됩니다. $A$ 가 선분 $\mathrm{P}\mathrm{F}$ 위에 있으므로 두 각은 같은 각이에요.

주어진 조건 $\angle {\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{F}}^{\prime }=\angle \mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{C}$ 에서

$2\theta ={90}^{\circ }-\theta$, $\theta ={30}^{\circ }$

이므로 $\angle {\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{F}}^{\prime }={60}^{\circ }$ 입니다.

$\tan \theta ={\displaystyle \frac{c}{p}}$ 이므로 $\tan {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{c}{p}}$ 에서 $p=\sqrt{3}c$ 이고,

$\overline{\mathrm{P}\mathrm{F}}=\overline{{\mathrm{P}\mathrm{F}}^{\prime }}=\sqrt{c^2+p^2}=\sqrt{c^2+3c^2}=2c$

입니다.

step4. 코사인법칙으로 $c$ 구하기

step2의 $\overline{\mathrm{P}\mathrm{F}}=2\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}+4$ 와 step3의 $\overline{\mathrm{P}\mathrm{F}}=2c$ 를 견주면

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}=c-2$, $\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}=c+2$, $\overline{{\mathrm{A}\mathrm{F}}^{\prime }}=c+6$

입니다. 이제 삼각형 ${\mathrm{P}\mathrm{A}\mathrm{F}}^{\prime }$ 을 봅니다. 두 변 $\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}=c+2$, $\overline{{\mathrm{P}\mathrm{F}}^{\prime }}=2c$ 와 그 끼인각 $\angle {\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{F}}^{\prime }={60}^{\circ }$ 를 알고 있으므로 코사인법칙에서

${\overline{{\mathrm{A}\mathrm{F}}^{\prime }}}^2=(c+2{)}^2+(2c{)}^2-2(c+2)(2c)\cos {60}^{\circ }=(c+2{)}^2+4c^2-2c(c+2)=3c^2+4$

입니다. $\overline{{\mathrm{A}\mathrm{F}}^{\prime }}=c+6$ 이므로

$(c+6{)}^2=3c^2+4$, $c^2+12c+36=3c^2+4$, $c^2-6c-16=0$

$(c-8)(c+2)=0$ 에서 $c>0$ 이므로 $c=8$ 입니다.

따라서 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}=6$, $\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}=10$, $\overline{{\mathrm{A}\mathrm{F}}^{\prime }}=14$, $\overline{\mathrm{P}\mathrm{F}}=16$, $p=8\sqrt{3}$ 입니다.

step5. $C$ 를 구해 둘레 계산하기

위 그림에서 삼각형 ACP 의 세 변의 길이가 그대로 둘레가 됩니다.

$P(0,8\sqrt{3})$, $F(8,0)$, $F^{\prime }(-8,0)$ 입니다. $A$ 는 선분 $\mathrm{P}\mathrm{F}$ 를 $\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}:\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}=10:6=5:3$ 으로 내분하므로

$A=({\displaystyle \frac{5·8+3·0}{8}},{\displaystyle \frac{5·0+3·8\sqrt{3}}{8}})=(5,3\sqrt{3})$

입니다. ($c=8$ 이면 $b^2=c^2-16=48$ 이고 ${\displaystyle \frac{25}{16}}-{\displaystyle \frac{27}{48}}=1$ 이므로 실제로 쌍곡선 위의 점입니다.)

직선 ${\mathrm{A}\mathrm{F}}^{\prime }$ 은 $F^{\prime }(-8,0)$ 과 $A(5,3\sqrt{3})$ 을 지나므로 기울기가 ${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{13}}$ 입니다. $C$ 는 이 직선 위에서 $y=8\sqrt{3}$ 인 점이므로

$8\sqrt{3}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{13}}(x+8)$, $x+8={\displaystyle \frac{104}{3}}$, $x={\displaystyle \frac{80}{3}}$

즉 $C({\displaystyle \frac{80}{3}},8\sqrt{3})$ 입니다.

$P$ 와 $C$ 는 $y$ 좌표가 같으므로 $\overline{\mathrm{P}\mathrm{C}}={\displaystyle \frac{80}{3}}$ 이고,

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\sqrt{{({\displaystyle \frac{80}{3}}-5)}^2+{(8\sqrt{3}-3\sqrt{3})}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{4225}{9}}+75}=\sqrt{{\displaystyle \frac{4900}{9}}}={\displaystyle \frac{70}{3}}$

입니다. 따라서 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{P}$ 의 둘레의 길이는

$\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{P}\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}=10+{\displaystyle \frac{80}{3}}+{\displaystyle \frac{70}{3}}=10+50=60$

입니다.

따라서 정답은 $60$ 입니다.

step1. 대칭

$\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{P}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{B}\mathrm{F}}=\overline{{\mathrm{A}\mathrm{F}}^{\prime }}$

$\overline{{\mathrm{A}\mathrm{F}}^{\prime }}-\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}=8$   --- 쌍곡선의 정의, $a=4$

step2. 타원

$\overline{\mathrm{F}\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{F}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{P}\mathrm{B}}$

$\Rightarrow \overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}+4$, $\overline{\mathrm{P}\mathrm{F}}=2\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}+4$

step3. 각

$2\theta ={90}^{\circ }-\theta \Rightarrow \theta ={30}^{\circ }$

$p=\sqrt{3}c$, $\overline{\mathrm{P}\mathrm{F}}=2c$

step4. 코사인법칙

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}=c-2$, $\overline{\mathrm{P}\mathrm{A}}=c+2$, $\overline{{\mathrm{A}\mathrm{F}}^{\prime }}=c+6$

$(c+6{)}^2=(c+2{)}^2+4c^2-2c(c+2)=3c^2+4$

$c^2-6c-16=0\Rightarrow c=8$

step5. 둘레

$A(5,3\sqrt{3})$, $C({\displaystyle \frac{80}{3}},8\sqrt{3})$

$10+{\displaystyle \frac{80}{3}}+{\displaystyle \frac{70}{3}}=60$

∴ $60$