수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 벡터 $\overrightarrow{OA}$의 크기 구하기

먼저 점 $A(4,3)$의 위치 벡터인 $\overrightarrow{OA}$의 크기를 구해볼게요. 원점 $O(0,0)$에서 점 $A(4,3)$까지의 거리이므로, 피타고라스의 정리를 이용하면 쉽게 구할 수 있어요.

$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$가 됩니다.

step2. 점 $P$가 나타내는 도형 파악하기

문제에서 주어진 조건은 $|\overrightarrow{OP}|=|\overrightarrow{OA}|$ 예요. 앞서 구한 값을 대입하면 $|\overrightarrow{OP}|=5$가 되죠.

이 식은 원점 $O$에서 점 $P$까지의 거리가 항상 5로 일정하다는 뜻이에요. 평면에서 한 정점(원점)으로부터 거리가 일정한 점들의 자취는 바로 원이 됩니다.

따라서 점 $P$가 나타내는 도형은 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $r=5$인 원이에요.

step3. 도형의 길이 계산하기

이제 점 $P$가 나타내는 도형의 길이를 구해야 해요.

도형의 넓이($\pi r^2$)와 헷갈리지 않도록 조심하세요. 도형의 길이는 원의 둘레를 의미합니다.

반지름의 길이가 5인 원의 둘레는 $2\pi r$ 공식을 사용하여 계산하면,

$2\pi \times 5=10\pi$가 됩니다.

따라서 정답은 ⑤번입니다.

step1. 벡터 $\overrightarrow{OA}$의 크기 구하기

$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{4^2+3^2}=5$

step2. 점 $P$가 나타내는 도형 파악하기

$|\overrightarrow{OP}|=|\overrightarrow{OA}|=5$

--- 원점으로부터 거리가 5인 점들의 자취이므로, 반지름이 5인 원

step3. 도형의 길이 계산하기

$l=2\pi r=2\pi \times 5=10\pi$

$\therefore ⑤$