(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 기하 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 포물선의 정의를 이용하여 초점까지의 거리를 준선까지의 거리로 변환하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 포물선의 방정식에서 초점과 준선을 찾습니다.

step2. 포물선의 정의를 이용하여 각 점에서 초점까지의 거리를 $p$ 에 대한 식으로 나타냅니다.

step3. 주어진 거리의 합 조건을 이용하여 $p$ 의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 포물선의 정의 : 평면 위에서 한 정점(초점)과 그 점을 지나지 않는 한 정직선(준선)에 이르는 거리가 같은 점들의 집합. 즉, 포물선 위의 임의의 점에서 초점까지의 거리는 그 점에서 준선까지의 거리와 같습니다.

5. 구체적 풀이

이차곡선 문제에서 '초점까지의 거리'가 등장하면 가장 먼저 '정의'를 떠올려야 해요. 두 점 사이의 거리 공식을 쓰면 루트가 나와서 계산이 너무 복잡해지거든요. 포물선의 정의를 쓰면 초점까지의 거리를 아주 간단한 일차식으로 바꿀 수 있습니다.

step1. 포물선의 초점과 준선 찾기

주어진 포물선의 방정식은 $y^{2} = 4 p x$ 입니다. 이 기본형에서 초점 $F$ 의 좌표는 $(p, 0)$ 이고, 준선의 방정식은 $x = - p$ 라는 것을 알 수 있어요.

step2. 포물선의 정의를 이용하여 거리 표현하기

포물선 위의 점 $P (x, y)$ 에서 초점 $F$ 까지의 거리는 점 $P$ 에서 준선 $x = - p$ 까지의 거리와 같습니다. 따라서 $\overset{―}{F P} = x - (- p) = x + p$ 가 됩니다. 여기서 두 점 사이의 거리 공식을 사용하여 $\sqrt{(x - p)^{2} + y^{2}}$ 로 계산하려고 하면 식이 너무 복잡해져서 길을 잃기 쉬우니 조심해야 해요. 문제에서 점 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ 의 $x$ 좌표가 각각 $p, 2 p, 3 p$ 라고 주어졌으므로, 각 점에서 초점까지의 거리는 다음과 같이 간단해집니다.

$\overset{―}{F P_{1}} = p + p = 2 p$

$\overset{―}{F P_{2}} = 2 p + p = 3 p$

$\overset{―}{F P_{3}} = 3 p + p = 4 p$

step3. 조건식을 이용하여 $p$ 의 값 구하기

문제에서 주어진 조건인 $\overset{―}{F P_{1}} + \overset{―}{F P_{2}} + \overset{―}{F P_{3}} = 27$ 에 방금 구한 식들을 대입해 볼게요.

$2 p + 3 p + 4 p = 27$

$9 p = 27$

따라서 $p = 3$ 이 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 포물선의 초점과 준선 찾기

포물선 $y^{2} = 4 p x$ 의 초점 $F (p, 0)$ , 준선 $x = - p$

step2. 포물선의 정의를 이용하여 거리 표현하기

$\overset{―}{F P} = x + p$ --- 포물선의 정의에 의해

$P_{1}, P_{2}, P_{3}$ 의 $x$ 좌표가 각각 $p, 2 p, 3 p$ 이므로

$\overset{―}{F P_{1}} = p + p = 2 p$

$\overset{―}{F P_{2}} = 2 p + p = 3 p$

$\overset{―}{F P_{3}} = 3 p + p = 4 p$

step3. 조건식을 이용하여 $p$ 의 값 구하기

$\overset{―}{F P_{1}} + \overset{―}{F P_{2}} + \overset{―}{F P_{3}} = 27$

$2 p + 3 p + 4 p = 27$

$9 p = 27$

∴ $p = 3$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

포물선 위의 점에서 초점까지의 거리를 구할 때, 두 점 사이의 거리 공식을 사용하여 복잡한 무리식 계산에 빠질 수 있습니다.
포물선의 정의(초점까지의 거리 = 준선까지의 거리)를 떠올리지 못하면 계산이 매우 복잡해져서 길을 잃기 쉽습니다.

🔑 돌파구

이차곡선 문제에서 초점까지의 거리가 주어지거나 구해야 할 때는 항상 '이차곡선의 정의'를 먼저 떠올려야 합니다.
포물선의 정의를 이용하여 $\overset{―}{F P}$ 를 점 $P$ 의 $x$ 좌표와 준선의 방정식으로 간단히 표현합니다.
이차곡선 위의 점과 초점을 연결한 선분의 길이는 항상 정의를 이용해 다른 길이로 변환할 수 있는지 확인하세요.

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 기하 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	기하 · 포물선 / 이차곡선
난이도	중하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구