(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 기하 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 대칭이동의 성질을 이용하여 점 B의 좌표를 구한 후, 두 점 사이의 거리 공식을 적용하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. $x y$ 평면에 대한 대칭이동의 성질을 이용하여 점 B의 좌표를 구합니다.

step2. 점 A와 점 B 사이의 거리를 계산하여 선분 AB의 길이를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 좌표공간에서의 대칭이동 : 점 $(x, y, z)$ 를 $x y$ 평면에 대하여 대칭이동하면 $z$ 좌표의 부호만 바뀌어 $(x, y, - z)$ 가 됩니다.

- 두 점 사이의 거리 : 두 점 $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 과 $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ 사이의 거리는 $\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}$ 입니다.

5. 구체적 풀이

x y

평면에 대칭이동한다는 것은 거울을 바닥(

x y

평면)에 두었을 때 비치는 모습을 상상하는 것과 같아요. 바닥을 기준으로 위아래(

z

축 방향) 위치만 반대가 되겠죠? 따라서

z

좌표의 부호만 바꿔주면 됩니다.

step1. 점 B의 좌표 구하기

점 $A (8, 6, 2)$ 를 $x y$ 평면에 대하여 대칭이동한 점이 B입니다. $x y$ 평면에 대하여 대칭이동하면 $x$ 좌표와 $y$ 좌표는 그대로이고, $z$ 좌표의 부호만 반대로 바뀝니다. 따라서 점 B의 좌표는 $(8, 6, - 2)$ 가 됩니다. 대칭이동하는 평면에 포함되지 않은 축의 좌표 부호가 바뀐다는 점을 헷갈리지 않도록 주의하세요.

step2. 선분 AB의 길이 구하기

이제 두 점 $A (8, 6, 2)$ 와 $B (8, 6, - 2)$ 사이의 거리를 구하면 됩니다. 두 점의 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 같으므로, 두 점 사이의 거리는 단순히 $z$ 좌표의 차이로 구할 수 있어요. 선분 AB의 길이는 $| 2 - (- 2) | = 4$ 가 됩니다. 공간좌표의 두 점 사이의 거리 공식을 사용해도 $\sqrt{(8 - 8)^{2} + (6 - 6)^{2} + (- 2 - 2)^{2}} = \sqrt{0 + 0 + 16} = 4$ 로 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 점 B의 좌표 구하기

$A (8, 6, 2)$ 를 $x y$ 평면에 대하여 대칭이동

$B (8, 6, - 2)$ --- $z$ 좌표의 부호만 반대로 변경

step2. 선분 AB의 길이 구하기

$A B = \sqrt{(8 - 8)^{2} + (6 - 6)^{2} + (- 2 - 2)^{2}}$

$A B = \sqrt{16} = 4$

$∴ ④$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

$x y$ 평면에 대한 대칭이동 시 어느 좌표의 부호가 바뀌는지 헷갈릴 수 있습니다.

🔑 돌파구

$x y$ 평면은 $z = 0$ 인 평면이므로, 이 평면에 대해 대칭이동하면 $z$ 좌표의 부호만 반대로 바뀐다는 점을 기억하세요.
대칭이동의 기준이 되는 평면에 포함되지 않은 문자의 부호가 바뀐다고 외우면 편리합니다.

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 기하 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	기하 · 공간좌표 / 대칭이동 / 두 점 사이의 거리
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구