수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 타원의 초점과 장축의 길이 구하기

먼저 주어진 타원의 방정식 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$을 분석해 볼게요.

$a^2=9$, $b^2=5$이므로 $c^2=a^2-b^2=9-5=4$가 됩니다.

조건에서 $c>0$이라고 했으므로 $c=2$입니다.

따라서 두 초점은 $F(2,0)$과 $F^{\prime }(-2,0)$이 되고, 장축의 길이는 $2a=2\times 3=6$이 됩니다.

step2. 타원의 정의를 이용하여 식 변형하기

우리가 다루어야 할 식은 $\overline{PQ}-\overline{PF}$입니다.

여기서 타원의 정의를 적용해 볼게요. 타원 위의 점 $P$에 대해 $\overline{PF}+\overline{P{F}^{\prime }}=6$이 성립하죠?

이를 $\overline{PF}$에 대해 정리하면 $\overline{PF}=6-\overline{P{F}^{\prime }}$가 됩니다.

이것을 원래 식에 대입해 봅시다.

$\overline{PQ}-\overline{PF}=\overline{PQ}-(6-\overline{P{F}^{\prime }})=\overline{PQ}+\overline{P{F}^{\prime }}-6$

이제 우리는 이 새로운 식이 최소가 되는 상황을 찾으면 됩니다.

step3. 원과 타원의 위치 관계 추론하기

원의 중심을 $C(2,3)$이라고 할게요. 점 $P$가 정해졌을 때, 원 위의 점 $Q$까지의 거리 $\overline{PQ}$가 최소가 되려면 $Q$는 선분 $PC$ (또는 그 연장선) 위에 있어야 해요.

여기서 원이 타원 밖에 있다고 가정하기 쉬워요.

만약 원이 타원 밖에 있다면 $\overline{PQ}$의 최솟값은 $\overline{PC}-r$이 됩니다.

이 경우 주어진 식은 $\overline{PC}+\overline{P{F}^{\prime }}-r-6$이 되고, $\overline{PC}+\overline{P{F}^{\prime }}$의 최솟값은 두 점 $C$와 $F^{\prime }$을 직선으로 이은 거리인 $\overline{C{F}^{\prime }}=5$가 됩니다.

그러면 전체 최솟값은 $5-r-6=-1-r$이 되는데, 문제에서 이 값이 6이라고 했으므로 $r=-7$이 되어 반지름이 음수라는 모순이 발생합니다.

따라서 원은 타원을 완전히 포함할 만큼 충분히 커야 한다는 것을 알 수 있어요.

원이 타원을 포함할 때, 점 $P$에서 원 위의 점 $Q$까지의 거리의 최솟값은 $r-\overline{PC}$가 됩니다.

step4. 최솟값 식 세우고 반지름 r 구하기

이제 올바른 $\overline{PQ}$의 최솟값 $r-\overline{PC}$를 원래 식에 대입해 볼게요.

$\overline{PQ}-\overline{PF}\ge r-\overline{PC}-\overline{PF}=r-(\overline{PC}+\overline{PF})$

이 전체 값이 최소가 되려면, 빼주는 값인 $(\overline{PC}+\overline{PF})$가 최대가 되어야 합니다.

다시 한번 타원의 정의($\overline{PF}=6-\overline{P{F}^{\prime }}$)를 사용해 식을 변형해 볼까요?

$\overline{PC}+\overline{PF}=\overline{PC}+(6-\overline{P{F}^{\prime }})=6+(\overline{PC}-\overline{P{F}^{\prime }})$

이제 $\overline{PC}-\overline{P{F}^{\prime }}$의 최댓값을 구하면 됩니다.

삼각형 $PC{F}^{\prime }$에서 삼각부등식에 의해 두 변의 길이의 차이는 나머지 한 변의 길이보다 작거나 같습니다.

즉, $\overline{PC}-\overline{P{F}^{\prime }}\le \overline{C{F}^{\prime }}$가 성립해요.

두 점 $C(2,3)$과 $F^{\prime }(-2,0)$ 사이의 거리를 구해보면,

$\overline{C{F}^{\prime }}=\sqrt{(-2-2{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$입니다.

따라서 $\overline{PC}-\overline{P{F}^{\prime }}$의 최댓값은 5가 되고, $(\overline{PC}+\overline{PF})$의 최댓값은 $6+5=11$이 됩니다.

결과적으로 우리가 구하고자 했던 전체 식의 최솟값은 $r-11$이 됩니다.

문제에서 이 최솟값이 6이라고 주어졌으므로,

$r-11=6⟹r=17$이 됩니다.

step1. 타원의 초점과 장축

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1⟹c^2=9-5=4⟹c=2$

$F(2,0),F^{\prime }(-2,0)$, 장축 $2a=6$

step2. 식 변형

$\overline{PF}+\overline{P{F}^{\prime }}=6⟹\overline{PF}=6-\overline{P{F}^{\prime }}$

$\overline{PQ}-\overline{PF}=\overline{PQ}+\overline{P{F}^{\prime }}-6$

step3. 위치 관계와 최솟값 식

--- 원이 타원 밖에 있으면 $r<0$ 모순이므로 원이 타원을 포함함

$min\overline{PQ}=r-\overline{PC}$

$min(\overline{PQ}-\overline{PF})=r-\overline{PC}-\overline{PF}=r-(\overline{PC}+\overline{PF})$

step4. 최댓값 계산 및 r 도출

--- 위 식이 최소가 되려면 $\overline{PC}+\overline{PF}$가 최대여야 함

$\overline{PC}+\overline{PF}=\overline{PC}+6-\overline{P{F}^{\prime }}=6+(\overline{PC}-\overline{P{F}^{\prime }})$

$\overline{PC}-\overline{P{F}^{\prime }}\le \overline{C{F}^{\prime }}=\sqrt{(-4{)}^2+(-3{)}^2}=5$

$max(\overline{PC}+\overline{PF})=6+5=11$

$\therefore min(\overline{PQ}-\overline{PF})=r-11=6$

$r=17$