수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 원 $C$와 선분 $PQ$의 길이 구하기

먼자 구 $S$가 $xy$평면($z=0$)과 만나서 생기는 원 $C$를 파악해 볼게요.

구 $S$의 방정식 $x^2+y^2+(z-1{)}^2=16$에 $z=0$을 대입하면 $x^2+y^2=15$가 됩니다.

즉, 원 $C$는 $xy$평면 위에 있고 중심이 원점 $O(0,0,0)$, 반지름이 $\sqrt{15}$인 원이에요.

이제 선분 $PQ$의 길이를 구해봅시다. 점 $A(0,0,1)$에서 $xy$평면에 내린 수선의 발은 원점 $O(0,0,0)$입니다.

점 $O$에서 선분 $PQ$에 내린 수선의 발을 $M$이라고 하면, 삼수선의 정리에 의해 $AM⟂PQ$가 성립합니다.

문제에서 점 $A$에서 선분 $PQ$까지의 거리가 $2$라고 했으므로 $AM=2$입니다.

직각삼각형 $AOM$에서 피타고라스 정리를 쓰면 $OM=\sqrt{A{M}^2-A{O}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$이 됩니다.

원 $C$의 중심 $O$에서 현 $PQ$까지의 거리가 $\sqrt{3}$이라는 뜻이죠.

원 $C$의 반지름 $OP=\sqrt{15}$이므로, 직각삼각형 $OMP$에서 $PM=\sqrt{O{P}^2-O{M}^2}=\sqrt{15-3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$입니다.

따라서 선분 $PQ$의 길이는 $2\times 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$이 됩니다.

step2. 구 $T$와 평면 $\alpha$의 방정식 구하기

선분 $PQ$를 지름으로 하는 구 $T$의 방정식을 세워볼게요.

구 $T$의 중심은 $PQ$의 중점인 $M$이고, 반지름은 $PM=2\sqrt{3}$입니다.

계산을 편하게 하기 위해 점 $M$의 좌표를 $(0,\sqrt{3},0)$으로 설정해 봅시다. (어느 방향으로 두어도 결과는 같아요.)

그러면 구 $T$의 방정식은 $x^2+(y-\sqrt{3}{)}^2+z^2=12$가 되고, 전개하면 $x^2+y^2+z^2-2\sqrt{3}y-9=0$입니다.

점 $B$는 구 $S$와 구 $T$가 만나서 생기는 원 위의 점입니다. 이 원을 포함하는 평면을 $\alpha$라고 할게요.

두 구의 교선을 포함하는 평면의 방정식은 두 구의 방정식을 빼서 구할 수 있습니다.

구 $S$: $x^2+y^2+z^2-2z-15=0$

구 $T$: $x^2+y^2+z^2-2\sqrt{3}y-9=0$

두 식을 빼면 $(-2\sqrt{3}y-9)-(-2z-15)=0$이 되고, 정리하면 $\sqrt{3}y-z-3=0$이 됩니다.

이것이 바로 평면 $\alpha$의 방정식입니다.

step3. 정사영 넓이의 최댓값 구하기

삼각형 $BPQ$의 $xy$평면 위로의 정사영을 삼각형 $B^{\prime }PQ$라고 합시다. ($B^{\prime }$은 $B$의 정사영)

선분 $PQ$는 이미 $xy$평면 위에 있으므로 정사영을 해도 그대로 유지됩니다.

우리가 설정한 좌표계에서 직선 $PQ$는 $y=\sqrt{3},z=0$인 직선입니다.

점 $B$의 좌표를 $(x,y,z)$라고 하면 $B^{\prime }$의 좌표는 $(x,y,0)$이 되고, $B^{\prime }$에서 직선 $PQ$까지의 거리는 $|y-\sqrt{3}|$이 됩니다.

따라서 정사영의 넓이 $S^{\prime }$은 $\frac{1}{2}\times (\text{밑변 }PQ)\times (\text{높이})=\frac{1}{2}\times 4\sqrt{3}\times |y-\sqrt{3}|=2\sqrt{3}|y-\sqrt{3}|$입니다.

이제 $|y-\sqrt{3}|$의 최댓값을 찾아야 해요.

점 $B$는 평면 $\alpha$ 위의 점이므로 $\sqrt{3}y-z-3=0$에서 $z=\sqrt{3}(y-\sqrt{3})$입니다.

이것을 구 $T$의 방정식 $x^2+(y-\sqrt{3}{)}^2+z^2=12$에 대입해 봅시다.

$x^2+(y-\sqrt{3}{)}^2+3(y-\sqrt{3}{)}^2=12$

$x^2+4(y-\sqrt{3}{)}^2=12$

여기서 $x^2\ge 0$이므로 $4(y-\sqrt{3}{)}^2\le 12$가 성립해야 합니다.

$(y-\sqrt{3}{)}^2\le 3$이므로 $|y-\sqrt{3}|\le \sqrt{3}$이 됩니다.

따라서 $|y-\sqrt{3}|$의 최댓값은 $\sqrt{3}$입니다.

이때 점 $B$의 $z$좌표가 양수라는 조건을 반드시 확인해야 합니다.

$|y-\sqrt{3}|=\sqrt{3}$이 되는 경우는 $y=2\sqrt{3}$ 또는 $y=0$입니다.

$y=2\sqrt{3}$일 때 $z=\sqrt{3}(2\sqrt{3}-\sqrt{3})=3>0$이므로 조건을 만족합니다.

($y=0$일 때는 $z=-3<0$이 되어 탈락입니다.)

결국 정사영 넓이의 최댓값은 $2\sqrt{3}\times \sqrt{3}=6$이 됩니다.

step1. 원 $C$와 선분 $PQ$의 길이 구하기

구 $S:x^2+y^2+(z-1{)}^2=16$

$z=0$ 대입 $\Rightarrow$ 원 $C:x^2+y^2=15$ (중심 $O(0,0,0)$, 반지름 $\sqrt{15}$)

$A(0,0,1)$에서 $xy$평면에 내린 수선의 발 $O(0,0,0)$

$O$에서 $PQ$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면, 삼수선 정리에 의해 $AM⟂PQ$

$AM=2,AO=1\Rightarrow OM=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$

$PM=\sqrt{15-3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\Rightarrow PQ=4\sqrt{3}$

step2. 구 $T$와 평면 $\alpha$의 방정식 구하기

$M(0,\sqrt{3},0)$으로 설정

구 $T:x^2+(y-\sqrt{3}{)}^2+z^2=12\Rightarrow x^2+y^2+z^2-2\sqrt{3}y-9=0$

구 $S:x^2+y^2+z^2-2z-15=0$

--- 두 구의 방정식을 빼서 교선을 포함하는 평면 $\alpha$를 구하면

$\alpha :-2\sqrt{3}y+2z+6=0\Rightarrow \sqrt{3}y-z-3=0$

step3. 정사영 넓이의 최댓값 구하기

삼각형 $BPQ$의 $xy$평면 정사영은 $△B^{\prime }PQ$   --- $B^{\prime }$은 $B$의 정사영

$PQ$는 $y=\sqrt{3},z=0$ 위에 있으므로, $B^{\prime }$에서 $PQ$까지 거리는 $|y-\sqrt{3}|$

넓이 $S^{\prime }=\frac{1}{2}\times 4\sqrt{3}\times |y-\sqrt{3}|=2\sqrt{3}|y-\sqrt{3}|$

$B$는 평면 $\alpha$와 구 $T$의 교선 위에 있으므로 $z=\sqrt{3}(y-\sqrt{3})$

구 $T$에 대입: $x^2+(y-\sqrt{3}{)}^2+3(y-\sqrt{3}{)}^2=12\Rightarrow x^2+4(y-\sqrt{3}{)}^2=12$

$4(y-\sqrt{3}{)}^2\le 12\Rightarrow |y-\sqrt{3}|\le \sqrt{3}$

$z>0$이므로 $y=2\sqrt{3}$일 때 최대.

$\therefore S_{max}^{\prime }=2\sqrt{3}\times \sqrt{3}=6$