수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 조건 (가) 해석하기

먼저 조건 (가)의 식 $9|\overrightarrow{\text{PQ}}|\overrightarrow{\text{PQ}}=4|\overrightarrow{\text{AB}}|\overrightarrow{\text{AB}}$를 분석해 볼게요.

이 식의 양변에 크기(절댓값)를 취해보면 $9|\overrightarrow{\text{PQ}}{|}^2=4|\overrightarrow{\text{AB}}{|}^2$이 됩니다.

제곱을 풀어주면 $3|\overrightarrow{\text{PQ}}|=2|\overrightarrow{\text{AB}}|$가 되죠.

이제 이 크기 비율을 원래 식에 다시 대입해 볼까요? $9\times (\frac{2}{3}|\overrightarrow{\text{AB}}|)\overrightarrow{\text{PQ}}=4|\overrightarrow{\text{AB}}|\overrightarrow{\text{AB}}$가 되고, 양변을 정리하면 $\overrightarrow{\text{PQ}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\text{AB}}$라는 아주 깔끔한 결론이 나옵니다.

즉, $\overrightarrow{\text{PQ}}$는 $\overrightarrow{\text{AB}}$와 방향이 완전히 같고, 길이는 $\frac{2}{3}$배라는 뜻이에요.

step2. 좌표평면 도입 및 A, B, C 좌표 설정

도형 문제를 쉽게 풀기 위해 점 $\text{A}$를 원점 $(0,0)$으로 하는 좌표평면을 그려볼게요.

$\overrightarrow{\text{AB}}$를 $x$축의 양의 방향에 두면 계산이 편해집니다. 선분 $\text{AB}$의 길이를 $3k$ ($k>0$)라고 해볼게요.

그러면 $\text{B}$의 좌표는 $(3k,0)$이 되고, $\overrightarrow{\text{AB}}=(3k,0)$이 됩니다.

문제에서 $\angle \text{BAC}=\frac{\pi }{2}$이고 $\overline{\text{AB}}=\overline{\text{AC}}$인 직각이등변삼각형이라고 했으므로, 점 $\text{C}$는 $y$축 위에 있어야 해요.

$\text{C}$의 좌표를 $(0,3k)$라고 설정해 보겠습니다. (만약 $(0,-3k)$로 두어도 결과는 동일하게 나옵니다.)

step3. 점 Q의 좌표 확정하기

앞서 $\overrightarrow{\text{PQ}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\text{AB}}$라고 했죠? $\overrightarrow{\text{AB}}=(3k,0)$이므로 $\overrightarrow{\text{PQ}}=(2k,0)$이 됩니다.

삼각형 $\text{APQ}$는 한 변의 길이가 $2k$인 정삼각형이에요. 선분 $\text{PQ}$가 $x$축과 평행하므로, 원점 $\text{A}$에서 $\text{PQ}$에 수선을 내리면 정확히 반으로 나뉘게 됩니다.

따라서 점 $\text{P}$와 $\text{Q}$의 $x$좌표는 각각 $-k$와 $k$가 되고, 높이($y$좌표)는 정삼각형의 높이 공식에 의해 $\pm \sqrt{3}k$가 됩니다.

즉, $\text{Q}$의 좌표는 $(k,\sqrt{3}k)$ 또는 $(k,-\sqrt{3}k)$가 될 수 있어요.

여기서 조건 (나) $\overrightarrow{\text{AC}}·\overrightarrow{\text{AQ}}<0$을 놓치기 쉽습니다. 이 조건을 꼭 확인해야 해요.

$\overrightarrow{\text{AC}}=(0,3k)$이므로, 내적값이 음수가 되려면 $\overrightarrow{\text{AQ}}$의 $y$좌표가 반드시 음수여야 합니다.

따라서 점 $\text{Q}$의 좌표는 $(k,-\sqrt{3}k)$로 확정됩니다.

step4. 조건 (다)를 이용해 미지수 k 구하기

이제 조건 (다) $\overrightarrow{\text{PQ}}·\overrightarrow{\text{CB}}=24$를 사용할 차례입니다.

우리가 구한 좌표들을 벡터 성분으로 나타내면,

$\overrightarrow{\text{PQ}}=(2k,0)$

$\overrightarrow{\text{CB}}=\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}=(3k,0)-(0,3k)=(3k,-3k)$ 입니다.

두 벡터를 내적해 볼까요?

$\overrightarrow{\text{PQ}}·\overrightarrow{\text{CB}}=(2k\times 3k)+(0\times -3k)=6k^2$

이 값이 $24$라고 했으므로, $6k^2=24$, 즉 $k^2=4$가 됩니다.

$k$는 양수이므로 $k=2$입니다.

이제 모든 좌표가 완성되었어요! $\text{B}(6,0)$, $\text{Q}(2,-2\sqrt{3})$ 입니다.

step5. 벡터의 합 최솟값 m 구하기

마지막으로 $|\overrightarrow{\text{XA}}+\overrightarrow{\text{XB}}|$의 최솟값 $m$을 구해야 합니다.

시점이 같은 두 벡터의 합은 선분 $\text{AB}$의 중점 $\text{M}$을 도입하면 아주 간단해집니다. $\overrightarrow{\text{XA}}+\overrightarrow{\text{XB}}=2\overrightarrow{\text{XM}}$이 되거든요.

점 $\text{B}$가 $(6,0)$이므로 중점 $\text{M}$의 좌표는 $(3,0)$입니다.

우리가 찾는 것은 $2|\overrightarrow{\text{XM}}|$의 최솟값이므로, 점 $\text{M}$에서 선분 $\text{AQ}$까지의 최단 거리를 구한 뒤 2배를 해주면 됩니다.

직선 $\text{AQ}$는 원점과 $(2,-2\sqrt{3})$을 지나므로 기울기가 $-\sqrt{3}$입니다. 즉, 직선의 방정식은 $\sqrt{3}x+y=0$이에요.

점 $\text{M}(3,0)$에서 이 직선까지의 거리 $d$를 점과 직선 사이의 거리 공식으로 구해보면,

$d=\frac{|\sqrt{3}\times 3+0|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 가 됩니다.

(이때 수선의 발의 $x$좌표를 확인해보면 $3/4$로, 선분 $\text{AQ}$의 범위 안에 잘 들어옵니다.)

따라서 최솟값 $m=2d=3\sqrt{3}$ 입니다.

step6. 최종 정답 계산

우리가 구해야 하는 최종 값은 $m^2$입니다.

$m=3\sqrt{3}$ 이므로,

$m^2=(3\sqrt{3}{)}^2=27$ 이 됩니다.

step1. 조건 (가) 해석하기

$9|\overrightarrow{\text{PQ}}{|}^2=4|\overrightarrow{\text{AB}}{|}^2⟹3|\overrightarrow{\text{PQ}}|=2|\overrightarrow{\text{AB}}|$

$\therefore \overrightarrow{\text{PQ}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\text{AB}}$

step2. 좌표평면 도입 및 A, B, C 좌표 설정

$\text{A}(0,0),\text{B}(3k,0),\text{C}(0,3k)$ 로 설정

$\overrightarrow{\text{AB}}=(3k,0)⟹\overrightarrow{\text{PQ}}=(2k,0)$

step3. 점 Q의 좌표 확정하기

$△\text{APQ}$는 정삼각형이므로 $\text{Q}(k,\pm \sqrt{3}k)$

--- $\overrightarrow{\text{AC}}·\overrightarrow{\text{AQ}}<0$ 이므로

$\text{Q}(k,-\sqrt{3}k)$

step4. 조건 (다)를 이용해 미지수 k 구하기

$\overrightarrow{\text{CB}}=(3k,-3k)$

$\overrightarrow{\text{PQ}}·\overrightarrow{\text{CB}}=(2k)(3k)+0=6k^2=24$

$\therefore k=2⟹\text{B}(6,0),\text{Q}(2,-2\sqrt{3})$

step5. 벡터의 합 최솟값 m 구하기

$\text{AB}$의 중점 $\text{M}(3,0)$

$|\overrightarrow{\text{XA}}+\overrightarrow{\text{XB}}|=2|\overrightarrow{\text{XM}}|$

직선 $\text{AQ}$: $y=-\sqrt{3}x⟹\sqrt{3}x+y=0$

거리 $d=\frac{|3\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$m=2d=3\sqrt{3}$

step6. 최종 정답 계산

$\therefore m^2=27$