수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 점 $D$를 원점으로 하는 공간좌표계 설정

직육면체의 꼭짓점 $D$를 원점 $(0,0,0)$으로 잡아볼게요.

점 $D$에서 뻗어나가는 세 모서리 $DA,DC,DH$는 서로 수직이므로, 이들을 각각 $x$축, $y$축, $z$축으로 설정할 수 있습니다.

구하고자 하는 선분 $DP$의 한 끝점인 $D$를 원점으로 잡으면 나중에 거리를 구할 때 계산이 훨씬 간단해집니다.

step2. 점 $B,E,G$의 좌표 구하기

이제 문제에 주어진 모서리의 길이를 이용해 필요한 점들의 좌표를 구해봅시다.

$\overline{AD}=3$ 이므로 $x$축 방향으로 3만큼 간 점 $A$의 좌표는 $(3,0,0)$입니다.

$\overline{CD}=\overline{AB}=3$ 이므로 $y$축 방향으로 3만큼 간 점 $C$의 좌표는 $(0,3,0)$입니다.

$\overline{DH}=\overline{AE}=6$ 이므로 $z$축 방향으로 6만큼 간 점 $H$의 좌표는 $(0,0,6)$입니다.

우리가 알아야 할 점은 삼각형 $BEG$의 꼭짓점들이에요.

- 점 $B$는 $xy$평면 위에 있고, $x$좌표와 $y$좌표가 모두 3이므로 $B(3,3,0)$입니다.

- 점 $E$는 점 $A(3,0,0)$에서 $z$축 방향으로 6만큼 올라간 점이므로 $E(3,0,6)$입니다.

- 점 $G$는 점 $C(0,3,0)$에서 $z$축 방향으로 6만큼 올라간 점이므로 $G(0,3,6)$입니다.

각 점의 좌표를 구할 때 $x,y,z$ 성분의 위치를 헷갈리지 않도록 주의하세요.

step3. 무게중심 $P$의 좌표 구하기

점 $P$는 삼각형 $BEG$의 무게중심입니다.

세 점 $B(3,3,0),E(3,0,6),G(0,3,6)$의 좌표를 평균 내어 무게중심 $P$의 좌표를 구합니다.

- $x$좌표: $\frac{3+3+0}{3}=\frac{6}{3}=2$

- $y$좌표: $\frac{3+0+3}{3}=\frac{6}{3}=2$

- $z$좌표: $\frac{0+6+6}{3}=\frac{12}{3}=4$

따라서 점 $P$의 좌표는 $(2,2,4)$가 됩니다.

step4. 선분 $DP$의 길이 계산

마지막으로 원점 $D(0,0,0)$과 점 $P(2,2,4)$ 사이의 거리를 구하면 선분 $DP$의 길이가 됩니다.

$\overline{DP}=\sqrt{(2-0{)}^2+(2-0{)}^2+(4-0{)}^2}$

$\overline{DP}=\sqrt{4+4+16}$

$\overline{DP}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$

step1. 좌표계 설정

$D(0,0,0)$을 원점으로 설정

$DA$를 $x$축, $DC$를 $y$축, $DH$를 $z$축으로 둠

step2. $B,E,G$ 좌표

$B(3,3,0)$

$E(3,0,6)$

$G(0,3,6)$

step3. 무게중심 $P$ 좌표

$P=(\frac{3+3+0}{3},\frac{3+0+3}{3},\frac{0+6+6}{3})$

$P=(2,2,4)$

step4. 선분 $DP$ 길이

$\overline{DP}=\sqrt{2^2+2^2+4^2}$

$\overline{DP}=\sqrt{4+4+16}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$

$\therefore ②$