(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 미적분 29번 풀이 해설 [이해용/실전용]

29. 두 실수

a, b (a > 1, b > 1)

이

{lim}_{n \to \infty} \frac{3^{n} + a^{n + 1}}{3^{n + 1} + a^{n}} = a, {lim}_{n \to \infty} \frac{a^{n} + b^{n + 1}}{a^{n + 1} + b^{n}} = \frac{9}{a}

를 만족시킬 때,

a + b

의 값을 구하시오. [4점]

이 문제는 등비수열의 극한에서 밑의 크기에 따라 극한값이 달라지는 성질을 이용하여 미지수의 범위를 나누고 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

- a > 1, b > 1
-

{lim}_{n \to \infty} \frac{3^{n} + a^{n + 1}}{3^{n + 1} + a^{n}} = a

{lim}_{n \to \infty} \frac{a^{n} + b^{n + 1}}{a^{n + 1} + b^{n}} = \frac{9}{a}

이 문제는 등비수열의 극한 성질을 이용해 밑의 크기에 따라 경우를 나누어 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 첫 번째 극한식을 통해 $a$ 와 $3$ 의 크기를 비교하여 $a$ 의 범위를 구합니다.

step2. 두 번째 극한식을 통해 $a$ 와 $b$ 의 크기를 비교하여 경우를 나눕니다.

step3. 모순이 발생하지 않는 경우를 찾아 $a$ 와 $b$ 의 값을 구하고 최종 정답을 계산합니다.

- 등비수열의 극한 : $r > 1$ 일 때 ${lim}_{n \to \infty} r^{n} = \infty$ 이므로, 분수 형태의 극한에서는 분모의 밑이 가장 큰 항으로 분모와 분자를 나누어 계산합니다.

극한식에

3^{n}

과

a^{n}

이 섞여 있네요!

n

이 무한대로 갈 때 누가 더 빨리 커질까요? 바로 밑이 큰 쪽이죠. 따라서

a

가 3보다 큰지, 작은지, 같은지에 따라 극한값이 완전히 달라진다는 점을 먼저 떠올려야 해요.

step1. 첫 번째 극한식 분석하기

첫 번째 조건인 ${lim}_{n \to \infty} \frac{3^{n} + a^{n + 1}}{3^{n + 1} + a^{n}} = a$ 를 살펴볼게요.

$a > 1$ 이라고 했으니, $a$ 와 $3$ 중 누가 더 큰지 세 가지 경우로 나누어 생각해야 해요.

(i) $1 < a < 3$ 일 때:

분모에서 밑이 가장 큰 항은 $3^{n}$ 이에요. 분모, 분자를 $3^{n}$ 으로 나누면,

${lim}_{n \to \infty} \frac{1 + a \cdot (\frac{a}{3})^{n}}{3 + (\frac{a}{3})^{n}} = \frac{1 + 0}{3 + 0} = \frac{1}{3}$ 이 됩니다.

이 값이 우변인 $a$ 와 같아야 하므로 $a = \frac{1}{3}$ 인데, 이는 $a > 1$ 이라는 조건에 맞지 않죠?

(ii) $a = 3$ 일 때:

식에 $a = 3$ 을 직접 대입해 보면,

${lim}_{n \to \infty} \frac{3^{n} + 3^{n + 1}}{3^{n + 1} + 3^{n}} = \frac{1 + 3}{3 + 1} = 1$ 이 됩니다.

우변인 $a$ 가 3이어야 하는데 결과가 1이 나왔으니 이것도 모순이에요.

(iii) $a > 3$ 일 때:

이제 분모에서 밑이 가장 큰 항은 $a^{n}$ 이 됩니다. 분모, 분자를 $a^{n}$ 으로 나누면,

${lim}_{n \to \infty} \frac{(\frac{3}{a})^{n} + a}{3 \cdot (\frac{3}{a})^{n} + 1} = \frac{0 + a}{0 + 1} = a$ 가 됩니다.

우변인 $a$ 와 완벽하게 일치하네요!

$a$ 가 3보다 작을 때와 같을 때를 확인하지 않고 무작정 $a > 3$ 이라고 단정 지으면 안 됩니다. 모든 경우를 꼼꼼히 확인하는 습관이 중요해요.

따라서 첫 번째 식에서 우리가 얻은 결론은 $a > 3$ 이라는 조건입니다.

step2. 두 번째 극한식 분석을 위한 경우 나누기

이제 두 번째 조건인 ${lim}_{n \to \infty} \frac{a^{n} + b^{n + 1}}{a^{n + 1} + b^{n}} = \frac{9}{a}$ 를 볼 차례예요.

첫 번째 식에서 $a > 3$ 임을 알았으니, 이제 두 번째 식에서 $a$ 와 $b$ 의 크기를 비교하여 세 가지 경우로 나누는 것이 이 문제의 키포인트입니다.

$b > 1$ 이라는 조건이 있으니, $b$ 가 $a$ 보다 작은지, 같은지, 큰지로 나누어 볼게요.

step3. 경우별 확인 및 정답 도출

(i) $1 < b < a$ 일 때:

분모의 최고차항인 $a^{n}$ 으로 분모, 분자를 나누면,

${lim}_{n \to \infty} \frac{1 + b \cdot (\frac{b}{a})^{n}}{a + (\frac{b}{a})^{n}} = \frac{1 + 0}{a + 0} = \frac{1}{a}$ 이 됩니다.

이 값이 $\frac{9}{a}$ 와 같아야 하므로 $\frac{1}{a} = \frac{9}{a}$ , 즉 $1 = 9$ 가 되어 말이 안 되죠.

(ii) $b = a$ 일 때:

식에 $b = a$ 를 대입해 보면,

${lim}_{n \to \infty} \frac{a^{n} + a^{n + 1}}{a^{n + 1} + a^{n}} = \frac{1 + a}{a + 1} = 1$ 이 됩니다.

이 값이 $\frac{9}{a}$ 와 같아야 하므로 $1 = \frac{9}{a}$ , 즉 $a = 9$ 가 됩니다.

$a > 3$ 이라는 조건도 만족하고, $b = a$ 이므로 $b = 9$ 가 되어 완벽하게 성립합니다!

(iii) $b > a$ 일 때:

분모의 최고차항인 $b^{n}$ 으로 분모, 분자를 나누면,

${lim}_{n \to \infty} \frac{(\frac{a}{b})^{n} + b}{a \cdot (\frac{a}{b})^{n} + 1} = \frac{0 + b}{0 + 1} = b$ 가 됩니다.

이 값이 $\frac{9}{a}$ 와 같아야 하므로 $b = \frac{9}{a}$ , 즉 $a b = 9$ 가 됩니다.

그런데 우리가 $a > 3$ 이고 $b > a > 3$ 이라는 것을 알고 있잖아요? 3보다 큰 두 수를 곱하면 무조건 9보다 커야 하므로( $a b > 9$ ), $a b = 9$ 라는 결과는 모순입니다.

따라서 가능한 경우는 (ii)뿐이며, $a = 9, b = 9$ 입니다.

최종적으로 구하고자 하는 값은 $a + b = 9 + 9 = 18$ 이 됩니다.

step1. 첫 번째 극한식 분석하기

${lim}_{n \to \infty} \frac{3^{n} + a^{n + 1}}{3^{n + 1} + a^{n}} = a$

(i) $1 < a < 3$ 일 때: $\frac{1}{3} \neq a$

(ii) $a = 3$ 일 때: $\frac{3^{n} + 3^{n + 1}}{3^{n + 1} + 3^{n}} = 1 \neq 3$

(iii) $a > 3$ 일 때: ${lim}_{n \to \infty} \frac{(3 / a)^{n} + a}{3 (3 / a)^{n} + 1} = a$

--- $a^{n}$ 으로 분모, 분자를 나눔

$∴ a > 3$

step2. 두 번째 극한식 분석을 위한 경우 나누기

${lim}_{n \to \infty} \frac{a^{n} + b^{n + 1}}{a^{n + 1} + b^{n}} = \frac{9}{a}$

step3. 경우별 확인 및 정답 도출

--- i) $1 < b < a$ 일 때: $\frac{1}{a} = \frac{9}{a} ⟹ 1 = 9$ (모순

(ii) $b = a$ 일 때: $\frac{a^{n} + a^{n + 1}}{a^{n + 1} + a^{n}} = 1 = \frac{9}{a} ⟹ a = 9$

--- $a > 3$ 조건을 만족하므로 $a = 9, b = 9$

(iii) $b > a$ 일 때: $b = \frac{9}{a} ⟹ a b = 9$

--- $a > 3, b > a > 3$ 이므로 $a b > 9$ (모순)

$∴ a = 9, b = 9$

$a + b = 18$

🔒 막힌 이유

등비수열의 극한에서 밑이 문자로 주어졌을 때, 어떤 값을 기준으로 범위를 나누어야 할지 막막할 수 있습니다.
첫 번째 극한식에서 $a$ 의 값이 바로 나오지 않고 $a > 3$ 이라는 범위만 나와서 당황하여 다음 단계로 넘어가지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

분모와 분자에 있는 지수식의 밑 중 가장 큰 값을 찾아 그 크기를 비교하는 기준으로 삼아야 합니다.
첫 번째 식에서 얻은 $a > 3$ 이라는 조건을 바탕으로, 두 번째 식에서 $a$ 와 $b$ 의 크기를 비교하여 침착하게 경우를 나누면 됩니다.
(팁: 밑이 문자인 지수 극한은 항상 밑의 대소 관계로 케이스를 분류하세요!)

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 미적분 29번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	미적분 · 수열의 극한 / 등비수열의 극한
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구