(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 미적분 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 절댓값 안의 부호가 바뀌는 경계를 기준으로 구간을 나누어 함수식을 구한 뒤, 곡선의 길이 공식을 적용하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. $x = 0$ 을 기준으로 구간을 나누어 함수 $y$ 를 구합니다.

step2. 각 구간에서 $\sqrt{1 + (y^{'})^{2}}$ 을 계산합니다.

step3. 정적분을 계산하여 곡선의 길이를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 곡선의 길이 공식 : 구간 $[a, b]$ 에서 미분가능한 함수 $y = f (x)$ 의 곡선의 길이는 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {f^{'} (x)}^{2}} d x$ 입니다.

- 절댓값의 성질 : $A \geq 0$ 일 때 $| A | = A$ , $A < 0$ 일 때 $| A | = - A$ 입니다.

5. 구체적 풀이

절댓값이 보이면 무조건 안의 식이 0이 되는

x

값을 찾아 구간을 나누는 것이 첫걸음이에요. 여기서는

e^{x} - 1 = 0

과

x = 0

을 만족하는

x = 0

을 기준으로 부호가 바뀐다는 것을 알 수 있어요.

step1. $x = 0$ 을 기준으로 구간을 나누어 함수 $y$ 구하기

$x = 0$ 을 기준으로 절댓값 안의 부호가 어떻게 되는지 확인해 볼게요.

먼저 $x \leq 0$ 일 때는 $e^{x} \leq 1$ 이므로 $| e^{x} - 1 | = - (e^{x} - 1) = 1 - e^{x}$ 가 되고, $| x | = - x$ 가 됩니다.

따라서 $y = \frac{1}{2} (1 - e^{x} - e^{- x} + 1) = 1 - \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ 가 됩니다.

반면 $x \geq 0$ 일 때는 $e^{x} \geq 1$ 이므로 $| e^{x} - 1 | = e^{x} - 1$ 이 되고, $| x | = x$ 가 됩니다.

따라서 $y = \frac{1}{2} (e^{x} - 1 - e^{x} + 1) = 0$ 이 됩니다.

step2. 각 구간에서 $\sqrt{1 + (y^{'})^{2}}$ 계산하기

곡선의 길이 공식에 넣기 위해 먼저 $y^{'}$ 을 구하고 $\sqrt{1 + (y^{'})^{2}}$ 을 계산해 봅시다.

$x \leq 0$ 구간에서는 $y^{'} = - \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ 입니다.

$1 + (y^{'})^{2} = 1 + {(- \frac{e^{x} - e^{- x}}{2})}^{2} = 1 + \frac{e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x}}{4} = \frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x}}{4} = {(\frac{e^{x} + e^{- x}}{2})}^{2}$ 이 됩니다.

이처럼 $1 + (y^{'})^{2}$ 이 완전제곱식이 되어 근호가 깔끔하게 벗겨진다는 점이 계산의 핵심입니다.

따라서 $\sqrt{1 + (y^{'})^{2}} = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ 가 됩니다.

$x \geq 0$ 구간에서는 $y = 0$ 이므로 $y^{'} = 0$ 이고, $\sqrt{1 + (y^{'})^{2}} = 1$ 이 됩니다.

step3. 정적분을 계산하여 곡선의 길이 구하기

이제 구한 식을 바탕으로 $- \ln 4$ 부터 $1$ 까지의 정적분을 계산해 볼게요.

$L = \int_{- \ln 4}^{0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} d x + \int_{0}^{1} 1 d x$

첫 번째 적분을 계산하면, ${[\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}]}_{- \ln 4}^{0} = (\frac{1 - 1}{2}) - (\frac{e^{- \ln 4} - e^{\ln 4}}{2})$ 가 됩니다.

적분 구간의 아래끝인 $- \ln 4$ 를 대입할 때 $e^{- \ln 4} = \frac{1}{4}$ , $e^{\ln 4} = 4$ 가 되는 지수법칙 계산에 실수하지 않도록 주의하세요.

계산하면 $0 - \frac{\frac{1}{4} - 4}{2} = - \frac{- \frac{15}{4}}{2} = \frac{15}{8}$ 이 됩니다.

두 번째 적분은 $\int_{0}^{1} 1 d x = [x]_{0}^{1} = 1$ 입니다.

따라서 전체 곡선의 길이는 $\frac{15}{8} + 1 = \frac{23}{8}$ 이 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. $x = 0$ 을 기준으로 구간을 나누어 함수 $y$ 구하기

$x \leq 0$ 일 때, $y = \frac{1}{2} (1 - e^{x} - e^{- x} + 1) = 1 - \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

$x \geq 0$ 일 때, $y = \frac{1}{2} (e^{x} - 1 - e^{x} + 1) = 0$

step2. 각 구간에서 $\sqrt{1 + (y^{'})^{2}}$ 계산하기

$x \leq 0$ 에서 $y^{'} = - \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

$1 + (y^{'})^{2} = 1 + \frac{e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x}}{4} = {(\frac{e^{x} + e^{- x}}{2})}^{2}$

$x \geq 0$ 에서 $y^{'} = 0 ⟹ \sqrt{1 + (y^{'})^{2}} = 1$

step3. 정적분을 계산하여 곡선의 길이 구하기

$L = \int_{- \ln 4}^{0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} d x + \int_{0}^{1} 1 d x$

$= {[\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}]}_{- \ln 4}^{0} + [x]_{0}^{1}$

$= 0 - \frac{\frac{1}{4} - 4}{2} + 1$

$= \frac{15}{8} + 1 = \frac{23}{8}$

$∴ ①$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

절댓값 기호가 두 개나 포함되어 있어 함수식을 어떻게 정리해야 할지 막막할 수 있습니다.
곡선의 길이 공식에 대입했을 때 근호 안의 식이 완전제곱식으로 정리된다는 것을 눈치채지 못해 계산에서 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

절댓값 안의 식이 0이 되는 $x = 0$ 을 기준으로 구간을 나누어 함수식을 간단히 정리합니다.
$1 + (y^{'})^{2}$ 을 계산할 때, ${(\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})}^{2} + 1 = {(\frac{e^{x} + e^{- x}}{2})}^{2}$ 형태가 됨을 기억하여 근호를 벗겨냅니다.
절댓값이 포함된 함수는 항상 부호가 바뀌는 경계를 찾는 것이 우선입니다.

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 미적분 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	미적분 · 정적분 / 곡선의 길이 / 절댓값 함수
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구