수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 절댓값 함수의 미분가능성 조건 파악하기

$h(x)={\int }_{-a\pi }^{x}f(t)dt$ 라고 하면, 주어진 함수는 $g(x)=|h(x)|$ 가 됩니다.

절댓값 함수 $|h(x)|$ 가 실수 전체에서 미분가능하려면, $h(x)=0$ 인 모든 $x$ 에 대하여 $h^{\prime }(x)=0$ 이어야 합니다.

즉, 그래프가 $x$축과 만날 때 뚫고 지나가지 않고 부드럽게 접해야 한다는 뜻이에요.

여기서 미적분학의 기본 정리에 의해 $h^{\prime }(x)=f(x)$ 이므로, $h(x)=0$ 일 때 $f(x)=0$ 이어야 한다는 조건을 얻을 수 있습니다.

step2. $x<0$ 구간에서의 조건 확인 및 $a$ 의 형태 찾기

먼저 적분 구간의 시작점인 $x=-a\pi$ 를 대입해 볼까요?

$h(-a\pi )={\int }_{-a\pi }^{-a\pi }f(t)dt=0$ 입니다.

따라서 step 1의 조건에 의해 $h^{\prime }(-a\pi )=f(-a\pi )=0$ 이어야 해요.

$x<0$ 일 때 $f(x)=2|\sin 4x|$ 이므로,

$f(-a\pi )=2|\sin (-4a\pi )|=2|\sin 4a\pi |=0$ 이 됩니다.

$\sin 4a\pi =0$ 이 되려면 $4a\pi =n\pi$ ($n$은 자연수)여야 하므로, $a=\frac{n}{4}$ 이라는 중요한 단서를 얻게 됩니다.

$x<0$ 구간에서 $f(x)\ge 0$ 이므로 $h(x)$ 는 계속 증가만 합니다. 따라서 $h(x)=0$ 인 점은 $x=-a\pi$ 가 유일하며, 이 점에서는 이미 미분가능 조건을 만족했으니 안심해도 됩니다.

step3. $h(0)$ 의 값 계산하기

이제 $x\ge 0$ 구간을 살펴보기 위해, 중간 다리 역할을 하는 $h(0)$ 의 값을 구해볼게요.

$h(0)={\int }_{-a\pi }^{0}2|\sin 4t|dt$ 입니다.

$|\sin 4t|$ 는 주기가 $\frac{\pi }{4}$ 인 함수예요. 한 주기 동안의 적분값을 계산해 보면,

${\int }_0^{\pi /4}2\sin 4tdt={[-\frac{1}{2}\cos 4t]}_0^{\pi /4}=-\frac{1}{2}(-1-1)=1$ 이 됩니다.

적분 구간 $[-a\pi ,0]$ 의 길이는 $a\pi$ 이고, $a=\frac{n}{4}$ 이므로 구간의 길이는 $\frac{n\pi }{4}$ 가 됩니다.

즉, 주기가 정확히 $n$ 번 반복되는 구간이므로 $h(0)=n\times 1=n$ 이 됩니다.

$n=4a$ 이므로, $h(0)=4a$ 라고 쓸 수 있어요.

step4. $x\ge 0$ 구간에서의 미분가능성 조건 찾기

이제 본격적으로 $x\ge 0$ 일 때의 $h(x)$ 를 구해봅시다.

$x\ge 0$ 에서 $f(x)=-\sin ax$ 이므로,

$h(x)=h(0)+{\int }_0^x(-\sin at)dt=4a+{\left[\frac{1}{a}\cos at\right]}_0^x=4a+\frac{1}{a}\cos ax-\frac{1}{a}$ 가 됩니다.

이 함수는 코사인 함수이므로 위아래로 진동하는 형태를 가집니다.

만약 이 그래프가 $x$축을 뚫고 지나간다면, 그 점에서는 $h(x)=0$ 이지만 $h^{\prime }(x)\ne 0$ 이 되어 미분 불가능해집니다.

따라서 $h(x)$ 가 $x$축을 뚫고 내려가지 않도록, $h(x)$ 의 최솟값이 $0$ 이상이어야 합니다.

$h(x)$ 의 최솟값은 $\cos ax=-1$ 일 때 발생하며, 그 값은 $4a-\frac{2}{a}$ 입니다.

그러므로 $4a-\frac{2}{a}\ge 0$ 이라는 부등식을 세울 수 있어요.

step5. 조건을 만족하는 $a$ 의 최솟값 구하기

마지막으로 부등식을 풀어 $a$ 의 최솟값을 구해봅시다.

$4a-\frac{2}{a}\ge 0$ 의 양변에 양수 $a$ 를 곱하면 $4a^2-2\ge 0$ 이 됩니다.

$a^2\ge \frac{1}{2}$ 이고 $a>0$ 이므로, $a\ge \frac{1}{\sqrt{2}}$ 입니다.

step 2에서 $a=\frac{n}{4}$ ($n$은 자연수)라고 했으므로,

$\frac{n}{4}\ge \frac{1}{\sqrt{2}}⟹n\ge \frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\approx 2.828$ 이 됩니다.

이를 만족하는 자연수 $n$ 의 최솟값은 $3$ 이고, 그때의 $a$ 값은 $\frac{3}{4}$ 입니다.

따라서 $a$ 의 최솟값은 $\frac{3}{4}$ 입니다.

step1. 미분가능성 조건

$h(x)={\int }_{-a\pi }^{x}f(t)dt$ 라 하면 $g(x)=|h(x)|$

$g(x)$가 미분가능하려면 $h(x)=0⟹h^{\prime }(x)=f(x)=0$

step2. $x<0$ 구간 조건

$h(-a\pi )=0⟹f(-a\pi )=2|\sin 4a\pi |=0$

$4a\pi =n\pi ⟹a=\frac{n}{4}$   --- $n$은 자연수

step3. $h(0)$ 계산

$h(0)={\int }_{-a\pi }^{0}2|\sin 4t|dt$

--- $|\sin 4t|$의 주기는 $\frac{\pi }{4}$이고 한 주기 적분값은 1이므로

$h(0)=n\times 1=n=4a$

step4. $x\ge 0$ 구간 조건

$h(x)=4a+{\int }_0^x(-\sin at)dt=4a+\frac{1}{a}\cos ax-\frac{1}{a}$

--- $h(x)$가 $x$축을 뚫고 지나가지 않아야 하므로 최솟값 $\ge 0$

최솟값 = $4a-\frac{2}{a}\ge 0$

step5. $a$의 최솟값

$4a^2\ge 2⟹a\ge \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\frac{n}{4}\ge \frac{1}{\sqrt{2}}⟹n\ge 2\sqrt{2}$

$n$의 최솟값은 3

∴ $a=\frac{3}{4}$