수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $f(x)$ 미분하기

먼저 주어진 함수 $f(x)=x+\ln x$를 미분해볼까요?

$f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x}$가 됩니다.

이 결과를 보면, 우리가 구해야 하는 적분식 ${\int }_1^e(1+\frac{1}{x})f(x)dx$는 사실 ${\int }_1^e{f}^{\prime }(x)f(x)dx$의 형태라는 것을 알 수 있어요.

피적분함수 안에 어떤 함수의 미분 형태가 포함되어 있다면 치환적분법을 떠올려야 합니다.

step2. 치환적분 적용 및 구간 변경

이제 $f(x)$를 새로운 변수 $t$로 치환해볼게요.

$f(x)=t$라고 두면, 양변을 미분하여 $f^{\prime }(x)dx=dt$가 됩니다.

치환적분을 할 때는 적분 변수뿐만 아니라 적분 구간도 반드시 새로운 변수 $t$에 맞게 바꿔주어야 해요.

$x$의 구간이 $1$부터 $e$까지이므로, $t$의 구간을 구해봅시다.

$x=1$일 때, $t=f(1)=1+\ln 1=1$

$x=e$일 때, $t=f(e)=e+\ln e=e+1$

따라서 적분 구간은 $1$에서 $e+1$로 바뀝니다.

step3. 정적분 계산

치환한 값들을 원래 식에 대입하면 적분식이 아주 간단해져요.

${\int }_1^e{f}^{\prime }(x)f(x)dx={\int }_1^{e+1}tdt$

이제 이 식을 적분해봅시다.

${\int }_1^{e+1}tdt={\left[\frac{1}{2}{t}^2\right]}_1^{e+1}$

위끝과 아래끝을 대입하여 계산하면,

$\frac{1}{2}(e+1{)}^2-\frac{1}{2}(1{)}^2$

$=\frac{1}{2}(e^2+2e+1)-\frac{1}{2}$

$=\frac{1}{2}{e}^2+e$

따라서 우리가 찾는 정답은 $\frac{e^2}{2}+e$가 됩니다.

step1. $f(x)$ 미분하기

$f(x)=x+\ln x$

$f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x}$

step2. 치환적분 적용 및 구간 변경

$f(x)=t$ 로 치환

--- 양변을 미분하면

$f^{\prime }(x)dx=dt$

$x=1\Rightarrow t=1$

$x=e\Rightarrow t=e+1$

step3. 정적분 계산

${\int }_1^e(1+\frac{1}{x})f(x)dx={\int }_1^{e+1}tdt$

$={\left[\frac{1}{2}{t}^2\right]}_1^{e+1}$

$=\frac{1}{2}(e+1{)}^2-\frac{1}{2}$

$=\frac{1}{2}(e^2+2e+1-1)$

$=\frac{e^2}{2}+e$

$\therefore ②$