수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 공차와 공비의 관계식 찾기

먼저 두 수열의 일반항을 세워볼게요.

등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항이 $a_1=1$이고 공차를 $d(d>0)$라 하면, 일반항은 $a_n=1+(n-1)d$가 됩니다.

등비수열 $\{b_n\}$의 첫째항이 $b_1=1$이고 공비를 $r$이라 하면, 일반항은 $b_n=r^{n-1}$이 되죠.

문제에서 $a_2{b}_2=1$이라고 했으므로, $a_2=1+d$와 $b_2=r$을 대입하면 $(1+d)r=1$이 됩니다.

이를 $r$에 대해 정리하면 $r=\frac{1}{1+d}$라는 관계식을 얻을 수 있어요.

step2. $\sum \frac{1}{a_n{a}_{n+1}}$ 계산하기

이제 주어진 급수의 첫 번째 부분인 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}$을 계산해 봅시다.

분모가 두 항의 곱인 경우 부분분수 분해를 이용합니다.

$\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}=\frac{1}{a_{n+1}-a_n}(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}})$로 쪼갤 수 있어요.

여기서 $a_{n+1}-a_n$은 등차수열의 공차인 $d$와 같으므로, 식은 $\frac{1}{d}(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}})$가 됩니다.

이 급수의 합을 구하기 위해 부분합의 극한을 취해보면,

${lim}_{N\to \infty }{\sum }_{n=1}^N\frac{1}{d}(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}})={lim}_{N\to \infty }\frac{1}{d}(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{N+1}})$이 됩니다. 중간 항들이 모두 지워지는 것을 확인할 수 있죠.

공차가 양수라는 조건이 없으면 $a_{N+1}$이 0에 수렴하지 않을 수도 있으므로 조건을 꼭 확인해야 합니다.

문제에서 $d>0$이라고 했으므로 $N$이 무한히 커질 때 $a_{N+1}$도 무한히 커져서 $\frac{1}{a_{N+1}}$은 0에 수렴합니다.

따라서 이 급수의 합은 $\frac{1}{d}·\frac{1}{1}=\frac{1}{d}$가 됩니다.

step3. $\sum b_n$ 계산하기

두 번째 부분인 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$을 계산해 볼게요.

앞서 $r=\frac{1}{1+d}$를 구했는데, $d>0$이므로 $r$은 $0<r<1$의 범위를 가집니다.

공비가 이 범위에 있으므로 무한등비급수는 수렴하고, 그 합은 공식에 따라 $\frac{1}{1-r}$이 됩니다.

step4. 방정식 풀기 및 정답 도출

이제 두 급수의 합을 더한 값이 2라는 조건을 이용해 방정식을 세워봅시다.

$\frac{1}{d}+\frac{1}{1-r}=2$

여기에 $r=\frac{1}{1+d}$를 대입해 볼게요.

$\frac{1}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{1+d}}=\frac{1}{\frac{d}{1+d}}=\frac{1+d}{d}=\frac{1}{d}+1$이 됩니다.

이 결과를 원래 방정식에 대입하면,

$\frac{1}{d}+\frac{1}{d}+1=2$가 되고, 정리하면 $\frac{2}{d}=1$이 되어 $d=2$를 얻을 수 있습니다.

$d=2$이면 $r=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$이 되죠.

우리가 최종적으로 구해야 하는 값은 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$이므로,

$\frac{1}{1-r}=\frac{1}{1-1/3}=\frac{1}{2/3}=\frac{3}{2}$가 됩니다.

step1. 공차와 공비의 관계식 찾기

$a_n=1+(n-1)d(d>0),b_n=r^{n-1}$

$a_2{b}_2=(1+d)r=1⟹r=\frac{1}{1+d}$

step2. $\sum \frac{1}{a_n{a}_{n+1}}$ 계산하기

${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}={lim}_{N\to \infty }{\sum }_{n=1}^N\frac{1}{d}(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}})$

--- 부분분수 분해를 이용

$={lim}_{N\to \infty }\frac{1}{d}(1-\frac{1}{a_{N+1}})=\frac{1}{d}$

step3. $\sum b_n$ 계산하기

${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n=\frac{1}{1-r}$

step4. 방정식 풀기 및 정답 도출

$\frac{1}{d}+\frac{1}{1-r}=2$

--- $r=\frac{1}{1+d}$를 대입하면

$\frac{1}{d}+\frac{1+d}{d}=2⟹\frac{2+d}{d}=2⟹d=2$

$r=\frac{1}{3}$

∴ ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n=\frac{1}{1-1/3}=\frac{3}{2}$