수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $x$를 $t$에 대하여 미분하기

먼저 $x=t+\cos 2t$를 $t$에 대하여 미분해 볼게요.

$t$를 미분하면 $1$이 되고, $\cos 2t$를 미분할 때는 합성함수의 미분법을 적용해야 해요.

$\cos$을 미분하면 $-\sin$이 되므로 $-\sin 2t$가 되고, 여기에 속함수인 $2t$를 미분한 값인 $2$를 곱해줘야 합니다.

$\cos 2t$를 미분할 때 속미분인 $2$를 곱하는 것을 잊어버리기 쉬우니 조심하세요!

따라서 $\frac{dx}{dt}=1-2\sin 2t$가 됩니다.

step2. $y$를 $t$에 대하여 미분하기

다음으로 $y={\sin }^{2}t$를 $t$에 대하여 미분해 봅시다.

이 식은 $(\sin t{)}^2$과 같으므로, 역시 합성함수의 미분법을 사용해요.

겉함수인 제곱을 미분하여 $2\sin t$가 되고, 속함수인 $\sin t$를 미분한 $\cos t$를 곱해줍니다.

그러면 $\frac{dy}{dt}=2\sin t\cos t$가 되죠.

여기서 삼각함수의 배각 공식을 떠올리면 식을 더 간단히 할 수 있어요.

$2\sin t\cos t=\sin 2t$라는 배각 공식을 이용하면 계산이 훨씬 수월해집니다.

따라서 $\frac{dy}{dt}=\sin 2t$로 정리할 수 있어요.

step3. $\frac{dy}{dx}$ 구하고 $t=\frac{\pi }{4}$ 대입하기

이제 매개변수 미분법 공식을 이용하여 $\frac{dy}{dx}$를 구해볼게요.

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\sin 2t}{1-2\sin 2t}$가 됩니다.

문제에서 $t=\frac{\pi }{4}$일 때의 값을 구하라고 했으므로, 이 식에 $t=\frac{\pi }{4}$를 대입해 줍니다.

$2t=2\times \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$이므로, $\sin 2t=\sin \frac{\pi }{2}=1$이 되죠.

이 값을 식에 대입하면,

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1-2\times 1}=\frac{1}{1-2}=\frac{1}{-1}=-1$이 됩니다.

따라서 정답은 -1입니다.

step1. $x$를 $t$에 대하여 미분하기

$x=t+\cos 2t$

$\frac{dx}{dt}=1-2\sin 2t$   --- 합성함수의 미분법 이용

step2. $y$를 $t$에 대하여 미분하기

$y={\sin }^{2}t$

$\frac{dy}{dt}=2\sin t\cos t=\sin 2t$   --- 배각의 공식 이용

step3. $\frac{dy}{dx}$ 구하고 $t=\frac{\pi }{4}$ 대입하기

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\sin 2t}{1-2\sin 2t}$

$t=\frac{\pi }{4}$ 대입:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin \frac{\pi }{2}}{1-2\sin \frac{\pi }{2}}=\frac{1}{1-2}=-1$

$\therefore ②$