(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 미적분 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 지수함수의 기본 극한 공식을 활용하기 위해 식을 변형하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 분모와 분자를 각각 $x$ 로 나누어 기본 극한 형태를 만듭니다.

step2. 분모와 분자의 식을 각각 지수의 계수에 맞게 변형합니다.

step3. 극한값을 계산하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 지수함수의 극한 : ${lim}_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$ 이며, 이를 일반화하면 ${lim}_{x \to 0} \frac{e^{a x} - 1}{a x} = 1$ (단, $a \neq 0$ ) 입니다.

5. 구체적 풀이

x

가

0

으로 갈 때 분모와 분자가 모두

0

으로 가는

\frac{0}{0}

꼴입니다. 이럴 때는 우리가 알고 있는 기본 공식인

\frac{e^{x} - 1}{x}

모양을 억지로라도 만들어주는 것이 핵심입니다. 분모와 분자를 모두

x

로 나누어 볼까요?

step1. 분모와 분자를 $x$ 로 나누기

주어진 식 ${lim}_{x \to 0} \frac{e^{7 x} - 1}{e^{2 x} - 1}$ 에서 분모와 분자를 각각 $x$ 로 나누어 줍니다.

${lim}_{x \to 0} \frac{\frac{e^{7 x} - 1}{x}}{\frac{e^{2 x} - 1}{x}}$

이렇게 하면 분모와 분자 각각에 대해 지수함수의 극한 공식을 적용할 준비가 됩니다.

step2. 지수의 계수에 맞게 식 변형하기

극한 공식 ${lim}_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t} = 1$ 을 적용하려면, $e$ 의 지수 부분과 분모의 식이 완전히 똑같아야 합니다.

분자의 경우 지수가 $7 x$ 이므로 분모도 $7 x$ 가 되어야 합니다. 따라서 식을 다음과 같이 변형합니다.

$\frac{e^{7 x} - 1}{x} = \frac{e^{7 x} - 1}{7 x} \times 7$

마찬가지로 분모의 경우 지수가 $2 x$ 이므로 분모도 $2 x$ 가 되어야 합니다.

$\frac{e^{2 x} - 1}{x} = \frac{e^{2 x} - 1}{2 x} \times 2$

계수를 맞춰주기 위해 분모에 숫자를 곱했다면, 식의 값이 변하지 않도록 반드시 같은 숫자를 다시 곱해주는 것을 잊지 마세요.

step3. 극한값 계산하기

이제 변형된 식에 극한을 적용해 봅시다.

${lim}_{x \to 0} \frac{\frac{e^{7 x} - 1}{7 x} \times 7}{\frac{e^{2 x} - 1}{2 x} \times 2}$

$x \to 0$ 일 때 $7 x \to 0$ 이고 $2 x \to 0$ 이므로, ${lim}_{x \to 0} \frac{e^{7 x} - 1}{7 x} = 1$ 이고 ${lim}_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{2 x} = 1$ 입니다.

따라서 극한값은 $\frac{1 \times 7}{1 \times 2} = \frac{7}{2}$ 가 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 분모와 분자를 $x$ 로 나누기

${lim}_{x \to 0} \frac{e^{7 x} - 1}{e^{2 x} - 1} = {lim}_{x \to 0} \frac{\frac{e^{7 x} - 1}{x}}{\frac{e^{2 x} - 1}{x}}$

step2. 지수의 계수에 맞게 식 변형하기

$= {lim}_{x \to 0} \frac{\frac{e^{7 x} - 1}{7 x} \times 7}{\frac{e^{2 x} - 1}{2 x} \times 2}$ --- 지수함수의 극한 형태를 만들기 위해 계수 조정

step3. 극한값 계산하기

$= \frac{1 \times 7}{1 \times 2}$ --- ${lim}_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t} = 1$ 이용

$= \frac{7}{2}$

$∴ ④$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

지수함수의 극한 공식 ${lim}_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$ 의 형태를 정확히 기억하지 못하거나, 분모와 분자에 $x$ 의 계수가 다를 때 식을 어떻게 변형해야 할지 몰라 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

분모와 분자를 각각 $x$ 로 나누어 기본 극한 공식의 형태를 만들어 줍니다.
그 후, 지수의 계수와 분모의 계수를 맞춰주기 위해 상수를 곱하고 나누는 과정을 거치면 됩니다.
팁: ${lim}_{x \to 0} \frac{e^{a x} - 1}{e^{b x} - 1} = \frac{a}{b}$ 임을 기억해두면 객관식에서 빠르게 풀 수 있습니다.

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 미적분 23번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	미적분 · 지수함수의 극한 / 함수의 극한
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구