수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 좌표평면 도입 및 점의 좌표 설정

선분 $AB$의 길이가 10이므로 원의 반지름은 5입니다. 원의 중심을 원점 $O(0,0)$으로 잡으면 원의 방정식은 $x^2+y^2=25$가 됩니다.

$A(-5,0)$, $B(5,0)$이 되고, 점 $C$는 $A$에서 4만큼 떨어져 있으므로 $C(-1,0)$입니다.

원 위의 점 $P$의 좌표를 $(x,y)$라고 합시다. (그림상 1사분면에 있으므로 $y>0$으로 생각할 수 있어요.)

$P$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $H(x,0)$입니다.

점 $Q$는 $P$와 $x$축에 대해 대칭이므로 $Q(x,-y)$가 됩니다.

step2. 넓이 $S(\theta )$와 관계식 도출

삼각형 $PCQ$의 밑변은 선분 $PQ$이고, 길이는 $2y$입니다.

높이는 선분 $CH$의 길이인데, $C(-1,0)$이고 $H(x,0)$이므로 길이는 $x-(-1)=x+1$입니다.

따라서 넓이 $S(\theta )=\frac{1}{2}\times 2y\times (x+1)=y(x+1)$이 됩니다.

또한 직각삼각형 $PCH$에서 $\angle PCH=\theta$이므로, $\tan \theta =\frac{\overline{PH}}{\overline{CH}}=\frac{y}{x+1}$입니다.

$S(\theta )$를 $\theta$만의 식으로 정리하기보다, $S(\theta )=y(x+1)$ 상태로 두고 음함수 미분법을 적용하는 것이 훨씬 효율적입니다.

step3. $\theta =\frac{\pi }{4}$일 때의 $x,y$ 값 계산

우리가 구해야 하는 것은 $\theta =\frac{\pi }{4}$일 때의 미분계수이므로, 이때의 $x,y$ 값을 먼저 찾아야 해요.

$\tan \frac{\pi }{4}=1$이므로, $\frac{y}{x+1}=1$, 즉 $y=x+1$입니다.

점 $P$는 원 위의 점이므로 $x^2+y^2=25$에 대입합니다.

$x^2+(x+1{)}^2=25$

$2x^2+2x-24=0$

$x^2+x-12=0$

$(x+4)(x-3)=0$

$y>0$이어야 하므로 $x=3$이고, 이때 $y=4$가 됩니다.

step4. 음함수 미분법을 이용한 미분계수 도출

$x$와 $y$ 모두 $\theta$에 따라 변하는 함수이므로, $\theta$로 미분할 때 곱의 미분법과 연쇄법칙을 빠뜨리지 않도록 주의해야 합니다.

첫 번째 관계식 $x^2+y^2=25$의 양변을 $\theta$에 대해 미분합니다.

$2x\frac{dx}{d\theta }+2y\frac{dy}{d\theta }=0⟹x\frac{dx}{d\theta }+y\frac{dy}{d\theta }=0$

여기에 $x=3,y=4$를 대입하면:

$3\frac{dx}{d\theta }+4\frac{dy}{d\theta }=0⟹\frac{dy}{d\theta }=-\frac{3}{4}\frac{dx}{d\theta }$ --- (ㄱ)

두 번째 관계식 $y=(x+1)\tan \theta$의 양변을 $\theta$에 대해 미분합니다.

$\frac{dy}{d\theta }=\frac{dx}{d\theta }\tan \theta +(x+1){\sec }^2\theta$

$\theta =\frac{\pi }{4}$일 때 $\tan \frac{\pi }{4}=1$, ${\sec }^2\frac{\pi }{4}=2$, $x=3$을 대입하면:

$\frac{dy}{d\theta }=\frac{dx}{d\theta }·1+(3+1)·2=\frac{dx}{d\theta }+8$ --- (ㄴ)

(ㄱ)과 (ㄴ)을 연립합니다.

$-\frac{3}{4}\frac{dx}{d\theta }=\frac{dx}{d\theta }+8$

$-\frac{7}{4}\frac{dx}{d\theta }=8⟹\frac{dx}{d\theta }=-\frac{32}{7}$

따라서 $\frac{dy}{d\theta }=-\frac{3}{4}\times (-\frac{32}{7})=\frac{24}{7}$입니다.

step5. 최종 정답 계산

$S(\theta )=y(x+1)$의 양변을 $\theta$에 대해 미분합니다.

$S^{\prime }(\theta )=\frac{dy}{d\theta }(x+1)+y\frac{dx}{d\theta }$

구한 값들을 모두 대입합니다.

$S^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{24}{7}\times (3+1)+4\times (-\frac{32}{7})$

$=\frac{96}{7}-\frac{128}{7}=-\frac{32}{7}$

최종적으로 구하는 값은 $-7\times S^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)$이므로,

$-7\times (-\frac{32}{7})=32$가 됩니다.

step1. 좌표 설정

원점 $O(0,0)$, $A(-5,0),B(5,0),C(-1,0)$

$P(x,y)$ ($y>0$), $H(x,0)$

step2. 관계식 도출

$S(\theta )=\frac{1}{2}·2y·(x+1)=y(x+1)$

$\tan \theta =\frac{y}{x+1}$

$x^2+y^2=25$

step3. $\theta =\frac{\pi }{4}$일 때 $x,y$

$\tan \frac{\pi }{4}=1⟹y=x+1$

$x^2+(x+1{)}^2=25⟹x^2+x-12=0$

$x=3,y=4$   --- ($y>0$이므로)

step4. 음함수 미분

$x^2+y^2=25⟹x\frac{dx}{d\theta }+y\frac{dy}{d\theta }=0$

$3\frac{dx}{d\theta }+4\frac{dy}{d\theta }=0⟹\frac{dy}{d\theta }=-\frac{3}{4}\frac{dx}{d\theta }$

$y=(x+1)\tan \theta ⟹\frac{dy}{d\theta }=\frac{dx}{d\theta }\tan \theta +(x+1){\sec }^2\theta$

$\frac{dy}{d\theta }=\frac{dx}{d\theta }+4·2=\frac{dx}{d\theta }+8$

$-\frac{3}{4}\frac{dx}{d\theta }=\frac{dx}{d\theta }+8⟹\frac{dx}{d\theta }=-\frac{32}{7},\frac{dy}{d\theta }=\frac{24}{7}$

step5. $S^{\prime }(\frac{\pi }{4})$ 계산

$S^{\prime }(\theta )=\frac{dy}{d\theta }(x+1)+y\frac{dx}{d\theta }$

$S^{\prime }(\frac{\pi }{4})=\frac{24}{7}·4+4·(-\frac{32}{7})=-\frac{32}{7}$

$\therefore -7\times S^{\prime }(\frac{\pi }{4})=32$