수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 표본평균 $\bar{X}$와 $\bar{Y}$의 분포 구하기

모집단이 정규분포를 따를 때, 표본평균의 평균은 모평균과 같고, 분산은 모분산을 표본의 크기로 나눈 값과 같아요.

표본평균의 분산을 구할 때 모분산을 그대로 사용하지 않도록 조심해야 해요.

먼저 $\bar{X}$의 분포를 구해볼까요? 모집단이 $N(m,6^2)$이고 표본의 크기가 $n=9$이므로,

$E(\bar{X})=m$

$V(\bar{X})=\frac{6^2}{9}=\frac{36}{9}=4=2^2$

따라서 $\bar{X}$는 정규분포 $N(m,2^2)$을 따릅니다.

마찬가지로 $\bar{Y}$의 분포를 구해보면, 모집단이 $N(6,2^2)$이고 표본의 크기가 $n=4$이므로,

$E(\bar{Y})=6$

$V(\bar{Y})=\frac{2^2}{4}=\frac{4}{4}=1=1^2$

따라서 $\bar{Y}$는 정규분포 $N(6,1^2)$을 따릅니다.

step2. 확률의 표준화

이제 주어진 확률 $P(\bar{X}\le 12)$와 $P(\bar{Y}\ge 8)$을 표준정규분포 $Z$로 변환해 볼게요. 표준화 공식 $Z=\frac{X-(\text{평균})}{\text{표준편차}}$를 이용합니다.

$P(\bar{X}\le 12)=P(Z\le \frac{12-m}{2})$

$P(\bar{Y}\ge 8)=P(Z\ge \frac{8-6}{1})=P(Z\ge 2)$

step3. 조건을 이용한 $m$의 값 계산

문제에서 주어진 조건에 표준화한 식을 대입해 봅시다.

$P(Z\le \frac{12-m}{2})+P(Z\ge 2)=1$

표준정규분포 곡선은 $Z=0$을 기준으로 좌우 대칭이고 전체 넓이가 1이에요. 따라서 $P(Z\le a)+P(Z\ge b)=1$이 성립하려면 $a=b$여야 합니다.

이 성질을 이용하면 식을 다음과 같이 바꿀 수 있어요.

$P(Z\le \frac{12-m}{2})=1-P(Z\ge 2)=P(Z\le 2)$

따라서 괄호 안의 값이 같아야 하므로,

$\frac{12-m}{2}=2$

$12-m=4$

$m=8$

이렇게 해서 우리가 찾는 $m$의 값은 8이 됩니다.

step1. 표본평균 $\bar{X}$와 $\bar{Y}$의 분포 구하기

$\bar{X}~N(m,\frac{6^2}{9})=N(m,2^2)$

$\bar{Y}~N(6,\frac{2^2}{4})=N(6,1^2)$

step2. 확률의 표준화

$P(\bar{X}\le 12)=P(Z\le \frac{12-m}{2})$

$P(\bar{Y}\ge 8)=P(Z\ge \frac{8-6}{1})=P(Z\ge 2)$

step3. 조건을 이용한 $m$의 값 계산

$P(Z\le \frac{12-m}{2})+P(Z\ge 2)=1$

--- $P(Z\le a)+P(Z\ge a)=1$이므로

$\frac{12-m}{2}=2$

$12-m=4$

$\therefore m=8$