수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 확률을 미지수로 설정하기

문제에서 $P(X=k)=P(X=k+2)$ ($k=0,1,2$)라고 했어요. $k$에 $0,1,2$를 차례로 대입해볼까요?

$k=0$일 때: $P(X=0)=P(X=2)$

$k=1$일 때: $P(X=1)=P(X=3)$

$k=2$일 때: $P(X=2)=P(X=4)$

이 결과들을 연결해보면 $P(X=0)=P(X=2)=P(X=4)$가 되고, $P(X=1)=P(X=3)$이 됩니다. 계산을 편하게 하기 위해 $P(X=0)=a$, $P(X=1)=b$라고 둘게요.

그러면 $X$의 확률분포는 다음과 같이 간단해집니다.

$P(X=0)=a$

$P(X=1)=b$

$P(X=2)=a$

$P(X=3)=b$

$P(X=4)=a$

step2. 확률의 총합 조건 이용하기

문제에 명시되어 있지 않더라도, 모든 확률의 합은 항상 1이라는 사실을 놓치기 쉽습니다.

$X$가 가지는 모든 값의 확률을 더하면 1이 되어야 하므로,

$a+b+a+b+a=1$

즉, $3a+2b=1$ 이라는 첫 번째 식을 얻을 수 있어요.

step3. $E(X^2)$ 조건 이용하기

이제 $E(X^2)=\frac{35}{6}$ 라는 조건을 사용할 차례예요. $E(X^2)$는 각 $X$값의 제곱에 해당 확률을 곱해서 모두 더한 값이죠.

$E(X^2)=0^2·a+1^2·b+2^2·a+3^2·b+4^2·a$

$=0+b+4a+9b+16a$

$=20a+10b$

이 값이 $\frac{35}{6}$이므로,

$20a+10b=\frac{35}{6}$

양변을 5로 나누어 식을 간단히 하면,

$4a+2b=\frac{7}{6}$ 이라는 두 번째 식을 얻습니다.

step4. 연립방정식 풀기

step2와 step3에서 구한 두 식을 연립해볼게요.

$4a+2b=\frac{7}{6}$

$3a+2b=1$

위 식에서 아래 식을 빼면 $2b$가 소거되면서 $a$의 값을 바로 구할 수 있어요.

$(4a+2b)-(3a+2b)=\frac{7}{6}-1$

$a=\frac{1}{6}$

우리가 구하고자 하는 값은 $P(X=0)$이고, 이는 $a$와 같으므로 정답은 $\frac{1}{6}$이 됩니다.

step1. 확률을 미지수로 설정하기

$P(X=0)=P(X=2)=P(X=4)=a$

$P(X=1)=P(X=3)=b$

step2. 확률의 총합 조건 이용하기

$3a+2b=1$   --- 확률의 총합은 1이므로

step3. $E(X^2)$ 조건 이용하기

$E(X^2)=0^2·a+1^2·b+2^2·a+3^2·b+4^2·a$

$20a+10b=\frac{35}{6}$

$4a+2b=\frac{7}{6}$

step4. 연립방정식 풀기

$(4a+2b)-(3a+2b)=\frac{7}{6}-1$

$a=\frac{1}{6}$

$\therefore ④$