수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 점 A의 위치를 식으로 표현하기

주사위를 한 번 던져 4 이하의 눈이 나올 확률은 $p=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$입니다.

16200번의 시행 중 4 이하의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 $X$라고 해볼게요.

그러면 5 이상의 눈이 나오는 횟수는 자연스럽게 $(16200-X)$번이 되겠죠?

점 A의 위치를 구할 때, 양의 방향 이동과 음의 방향 이동을 모두 고려해야 해요.

점 A의 위치를 $Y$라고 하면,

$Y=X\times 1+(16200-X)\times (-1)$

$Y=X-16200+X=2X-16200$이 됩니다.

step2. 조건을 만족하는 $X$의 범위 구하기

문제에서 점 A의 위치가 5700 이하일 확률을 구하라고 했어요.

즉, $Y\le 5700$이어야 하므로 앞서 구한 식을 대입해 봅니다.

$2X-16200\le 5700$

$2X\le 21900$

$X\le 10950$

따라서 우리가 구해야 하는 확률은 $P(X\le 10950)$입니다.

step3. 이항분포를 정규분포로 근사하기

확률변수 $X$는 시행 횟수 $n=16200$, 성공 확률 $p=\frac{2}{3}$인 이항분포 $B(16200,\frac{2}{3})$를 따릅니다.

시행 횟수 $n$이 충분히 크므로, $X$는 정규분포에 근사할 수 있어요.

평균 $m$과 분산 ${\sigma }^2$을 구해볼까요?

$m=E(X)=np=16200\times \frac{2}{3}=10800$

${\sigma }^2=V(X)=npq=10800\times \frac{1}{3}=3600={60}^2$

따라서 $X$는 근사적으로 정규분포 $N(10800,{60}^2)$을 따릅니다.

step4. 표준화하여 확률 구하기

이제 $P(X\le 10950)$을 구하기 위해 표준화를 해줍니다.

$Z=\frac{X-m}{\sigma }=\frac{X-10800}{60}$

$P(X\le 10950)=P(Z\le \frac{10950-10800}{60})$

$=P(Z\le \frac{150}{60})=P(Z\le 2.5)$

표준정규분포표에서 $P(0\le Z\le 2.5)=0.494$로 주어졌어요.

$P(Z\le 2.5)=P(Z\le 0)+P(0\le Z\le 2.5)=0.5+0.494=0.994$

이 값이 바로 $k$입니다.

최종적으로 구하는 값은 $1000\times k=1000\times 0.994=994$가 됩니다.

step1. 점 A의 위치를 식으로 표현하기

4 이하 눈 나올 확률 $p=\frac{2}{3}$

나온 횟수를 $X$라 하면, 위치 $Y=X-(16200-X)=2X-16200$

step2. 조건을 만족하는 $X$의 범위 구하기

$Y\le 5700$

$2X-16200\le 5700$

$2X\le 21900⟹X\le 10950$

step3. 이항분포를 정규분포로 근사하기

$X~B(16200,\frac{2}{3})$

$E(X)=16200\times \frac{2}{3}=10800$

$V(X)=10800\times \frac{1}{3}=3600={60}^2$

$X~N(10800,{60}^2)$

step4. 표준화하여 확률 구하기

$P(X\le 10950)=P(Z\le \frac{10950-10800}{60})$

$=P(Z\le 2.5)$

$=0.5+0.494=0.994$

$k=0.994$

$\therefore 1000k=994$