수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 독립사건의 성질을 이용하여 $P(B)$ 구하기

문제에서 두 사건 $A,B$가 서로 독립이라고 했어요. 두 사건이 독립이면 교집합의 확률은 각각의 확률을 곱한 것과 같습니다. 즉, $P(A\cap B)=P(A)P(B)$가 성립하죠. 문제에 주어진 $P(A)=\frac{2}{3}$와 $P(A\cap B)=\frac{1}{6}$을 이 식에 대입해 볼게요.

$\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\times P(B)$

이제 양변에 $\frac{3}{2}$을 곱해서 $P(B)$를 구하면,

$P(B)=\frac{1}{6}\times \frac{3}{2}=\frac{1}{4}$이 됩니다.

step2. 확률의 덧셈정리를 이용하여 $P(A\cup B)$ 계산하기

이제 우리가 구해야 할 것은 $P(A\cup B)$예요. 확률의 덧셈정리에 따르면 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$입니다. 여기서 교집합의 확률을 빼주는 것을 깜빡하기 쉬우니 조심해야 해요. 우리가 알고 있는 값들을 모두 대입해 볼까요?

$P(A\cup B)=\frac{2}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$

분모를 12로 통분해서 계산해 주면,

$P(A\cup B)=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}-\frac{2}{12}=\frac{9}{12}$

마지막으로 약분하면 $\frac{3}{4}$이 됩니다. 따라서 정답은 ①번이에요.

step1. 독립사건의 성질을 이용하여 $P(B)$ 구하기

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$   --- $A,B$가 독립이므로

$\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\times P(B)$

$P(B)=\frac{1}{4}$

step2. 확률의 덧셈정리를 이용하여 $P(A\cup B)$ 계산하기

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$P(A\cup B)=\frac{2}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$

$P(A\cup B)=\frac{8+3-2}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$

$\therefore ①$