(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 수학 확통 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 여사건의 확률을 이용하여 전체 확률에서 반대되는 경우의 확률을 빼는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 전체 경우의 수를 구합니다.

step2. '7 이상의 홀수'가 무엇인지 파악하고, 그 반대되는 경우의 수를 구합니다.

step3. 여사건의 확률을 구한 뒤, 전체 확률 1에서 빼어 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 조합 : 서로 다른 $n$ 개에서 순서를 생각하지 않고 $r$ 개를 택하는 경우의 수 $(\binom{n}{r}) = \frac{n!}{r! (n - r)!}$

- 여사건의 확률 : 사건 $A$ 가 일어날 확률을 $P (A)$ 라 할 때, 사건 $A$ 가 일어나지 않을 확률은 $1 - P (A)$

5. 구체적 풀이

'적어도 하나가 ~일 확률'을 구하라고 할 때는 직접 구하는 것보다 '모두 ~가 아닐 확률'을 구해서 1에서 빼는 것이 훨씬 빠르고 정확해요.

step1. 전체 경우의 수 구하기

1부터 11까지의 자연수 11개 중에서 서로 다른 2개를 선택하는 전체 경우의 수를 구합니다.

순서에 상관없이 2개를 고르는 것이므로 조합을 사용해요.

전체 경우의 수 = $(\binom{11}{2}) = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$ 입니다.

step2. 여사건의 경우의 수 구하기

'적어도 하나가 7 이상의 홀수'의 반대(여사건)는 '선택한 2개의 수가 모두 7 이상의 홀수가 아님'입니다.

1부터 11까지의 수 중 7 이상의 홀수는 7, 9, 11로 총 3개입니다.

7 이상의 홀수를 찾을 때 7을 포함하지 않거나 짝수를 잘못 세지 않도록 주의하세요.

따라서 7 이상의 홀수가 아닌 수는 전체 11개에서 3개를 뺀 8개입니다. (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10)

이 8개의 수 중에서 2개를 선택하는 경우의 수를 구합니다.

여사건의 경우의 수 = $(\binom{8}{2}) = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 입니다.

step3. 확률 계산하기

여사건의 확률은 전체 경우의 수 분의 여사건의 경우의 수이므로 $\frac{28}{55}$ 입니다.

우리가 구하고자 하는 확률은 전체 확률 1에서 여사건의 확률을 뺀 값이므로, $1 - \frac{28}{55} = \frac{27}{55}$ 가 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 전체 경우의 수

$(\binom{11}{2}) = \frac{11 \times 10}{2} = 55$

step2. 여사건의 경우의 수

--- 7 이상의 홀수는 7, 9, 11 (3개)이므로, 그 외의 수는 8개

$(\binom{8}{2}) = \frac{8 \times 7}{2} = 28$

step3. 확률 계산

--- 여사건의 확률을 이용

$1 - \frac{28}{55} = \frac{27}{55}$

$∴ ⑤$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

'적어도 하나'라는 표현을 보고 직접 경우를 나누어 풀려다가 계산이 복잡해지거나 실수를 할 수 있어요.
예를 들어, 7 이상의 홀수가 1개일 때와 2개일 때를 각각 구해서 더하는 과정에서 경우의 수를 빠뜨리거나 중복해서 세는 실수가 발생하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

'적어도 하나'라는 조건이 있을 때는 여사건(반대되는 경우)을 생각하여 전체 확률 1에서 빼는 것이 훨씬 간단하고 정확해요.
확률 문제에서 '적어도'라는 단어가 보이면 항상 여사건을 먼저 떠올려보세요!

(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 고3 수학 확통 25번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	확률과 통계 · 확률 / 여사건의 확률 / 조합
난이도	중하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구