수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 조건 정리

$X=\{1,2,3,4\}$에서 약수 관계를 찾아보면,

- 1은 1, 2, 3, 4의 약수

- 2는 2, 4의 약수

- 3은 3의 약수

- 4는 4의 약수

조건에 따라 이를 함수 $f$에 적용하면,

- $f(1)$은 $f(1),f(2),f(3),f(4)$의 약수

- $f(2)$는 $f(2),f(4)$의 약수

즉, $f(1)$은 모든 함숫값의 공약수여야 하고, $f(2)$는 $f(4)$의 약수여야 합니다.

step2. 조건을 만족하는 전체 함수의 개수 구하기

$f(1)$이 가질 수 있는 값(1, 2, 3, 4)을 기준으로 경우를 나눕니다.

① $f(1)=1$인 경우

1은 모든 수의 약수이므로 $f(2),f(3),f(4)$는 $1,2,3,4$ 중 어떤 값이든 가능합니다.

단, $f(2)$는 $f(4)$의 약수여야 하므로 순서쌍 $(f(2),f(4))$를 구해보면,

- $f(2)=1$일 때 $f(4)\in \{1,2,3,4\}$ (4개)

- $f(2)=2$일 때 $f(4)\in \{2,4\}$ (2개)

- $f(2)=3$일 때 $f(4)\in \{3\}$ (1개)

- $f(2)=4$일 때 $f(4)\in \{4\}$ (1개)

총 8가지입니다. $f(3)$은 4가지 모두 가능하므로, 이 경우의 함수는 $1\times 8\times 4=32$개입니다.

② $f(1)=2$인 경우

$f(2),f(3),f(4)$는 모두 2의 배수인 $2,4$ 중 하나여야 합니다.

$(f(2),f(4))$ 순서쌍 중 $f(2)$가 $f(4)$의 약수인 경우는

- $f(2)=2$일 때 $f(4)\in \{2,4\}$ (2개)

- $f(2)=4$일 때 $f(4)\in \{4\}$ (1개)

총 3가지입니다. $f(3)$은 2가지 가능하므로, 이 경우의 함수는 $1\times 3\times 2=6$개입니다.

③ $f(1)=3$인 경우

$f(2),f(3),f(4)$는 모두 3의 배수인 $3$만 가능합니다.

따라서 함수는 $1\times 1\times 1=1$개입니다.

④ $f(1)=4$인 경우

$f(2),f(3),f(4)$는 모두 4의 배수인 $4$만 가능합니다.

따라서 함수는 $1\times 1\times 1=1$개입니다.

조건을 만족하는 전체 함수의 개수는 $32+6+1+1=40$개입니다. 전체 함수 개수 $4^4$로 착각하여 분모를 잘못 계산하지 않도록 주의하세요!

step3. $f(4)$가 짝수인 함수의 개수 구하기

위에서 구한 각 경우 중에서 $f(4)$가 짝수(2 또는 4)인 경우만 추려냅니다.

① $f(1)=1$인 경우

$(f(2),f(4))$ 8가지 중 $f(4)$가 짝수인 것은 $(1,2),(1,4),(2,2),(2,4),(4,4)$로 총 5가지입니다.

$f(3)$은 4가지이므로 $5\times 4=20$개입니다.

② $f(1)=2$인 경우

$(f(2),f(4))$ 3가지 모두 $f(4)$가 짝수입니다.

$f(3)$은 2가지이므로 $3\times 2=6$개입니다.

③ $f(1)=3$인 경우

$f(4)=3$이므로 짝수가 아닙니다. (0개)

④ $f(1)=4$인 경우

$f(4)=4$이므로 짝수입니다. (1개)

따라서 $f(4)$가 짝수인 함수의 개수는 $20+6+0+1=27$개입니다.

step4. 조건부 확률 계산

구하는 확률은 (조건을 만족하는 전체 경우의 수) 분의 (조건을 만족하면서 $f(4)$가 짝수인 경우의 수)이므로,

$\frac{27}{40}$이 됩니다.

step1. 조건 정리

$1$은 $1,2,3,4$의 약수 $⟹f(1)$은 $f(1),f(2),f(3),f(4)$의 약수

$2$는 $2,4$의 약수 $⟹f(2)$는 $f(4)$의 약수

step2. 조건을 만족하는 전체 함수의 개수 구하기

$f(1)$의 값에 따라 분류:

① $f(1)=1$: $f(2)|f(4)$인 $(f(2),f(4))$는 $(1,1~4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)$ $\to 8$개

$f(3)$은 $4$개 $⟹8\times 4=32$

② $f(1)=2$: $f(2),f(3),f(4)\in \{2,4\}$

$f(2)|f(4)$인 $(f(2),f(4))$는 $(2,2),(2,4),(4,4)$ $\to 3$개

$f(3)$은 $2$개 $⟹3\times 2=6$

③ $f(1)=3$: $f(2),f(3),f(4)\in \{3\}⟹1$

④ $f(1)=4$: $f(2),f(3),f(4)\in \{4\}⟹1$

전체 경우의 수 $=32+6+1+1=40$

step3. $f(4)$가 짝수인 함수의 개수 구하기

① $f(1)=1$: $f(4)\in \{2,4\}$인 $(f(2),f(4))$는 $(1,2),(1,4),(2,2),(2,4),(4,4)$ $\to 5$개

$5\times 4=20$

② $f(1)=2$: 모두 $f(4)$가 짝수 $⟹6$

③ $f(1)=3$: $f(4)=3$ (홀수) $⟹0$

④ $f(1)=4$: $f(4)=4$ (짝수) $⟹1$

$f(4)$가 짝수인 경우의 수 $=20+6+0+1=27$

step4. 조건부 확률 계산

$\therefore \frac{27}{40}$