수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. A가 받는 공의 개수가 0일 때

A가 받는 공의 개수를 $a$라고 할게요. $a=0$일 때를 생각해 봅시다.

A는 공을 받지 않으므로 남은 흰 공 4개, 검은 공 4개를 B, C 두 명에게 나누어 주면 됩니다.

- 흰 공 4개를 B, C에게 나누어 주는 경우: ${}_2{H}_4={}_5{C}_4=5$가지

- 검은 공 4개를 B, C에게 나누어 주는 경우: ${}_2{H}_4={}_5{C}_4=5$가지

따라서 전체 경우의 수는 $5\times 5=25$가지입니다.

여기서 끝내면 안 되고, B가 2개 이상 받아야 한다는 조건을 적용해야 해요.

B가 받는 공의 개수를 $b$라고 할 때, $b\ge 2$를 만족해야 하므로 여사건인 $b=0$ 또는 $b=1$인 경우를 빼줍시다.

- $b=0$인 경우: B가 흰 공 0개, 검은 공 0개를 받으므로 1가지

- $b=1$인 경우: B가 (흰 공 1개, 검은 공 0개) 또는 (흰 공 0개, 검은 공 1개)를 받으므로 2가지

여사건의 총 경우의 수는 $1+2=3$가지입니다.

그러므로 $a=0$일 때 조건을 만족하는 경우의 수는 $25-3=22$가지입니다.

step2. A가 받는 공의 개수가 1일 때

$a=1$일 때, A가 받는 공 1개는 (흰 공 1개, 검은 공 0개) 또는 (흰 공 0개, 검은 공 1개)의 2가지 경우가 있습니다.

1) A가 (흰 공 1개, 검은 공 0개)를 받을 때:

남은 공은 흰 공 3개, 검은 공 4개입니다. 이를 B, C에게 나누어 줍니다.

- 전체 경우의 수: ${}_2{H}_3\times {}_2{H}_4=4\times 5=20$가지

- 여사건 ($b=0$ 또는 $b=1$): B가 받는 공의 색깔 조합은 남은 공의 개수와 무관하게 항상 (0,0), (1,0), (0,1)의 3가지입니다.

- 조건을 만족하는 경우: $20-3=17$가지

2) A가 (흰 공 0개, 검은 공 1개)를 받을 때:

남은 공은 흰 공 4개, 검은 공 3개입니다. 흰 공과 검은 공의 개수만 바뀌었을 뿐 구조가 완벽히 대칭이므로, 계산할 필요 없이 똑같이 17가지가 나옵니다.

따라서 $a=1$일 때 조건을 만족하는 경우의 수는 $17+17=34$가지입니다.

step3. A가 받는 공의 개수가 2일 때

$a=2$일 때, A가 받는 공 2개의 색깔 조합은 (흰2, 검0), (흰0, 검2), (흰1, 검1)의 3가지가 있습니다.

1) A가 (흰2, 검0)을 받을 때:

남은 공은 흰 공 2개, 검은 공 4개입니다.

- 전체 경우의 수: ${}_2{H}_2\times {}_2{H}_4=3\times 5=15$가지

- 여사건: 마찬가지로 3가지

- 조건을 만족하는 경우: $15-3=12$가지

2) A가 (흰0, 검2)을 받을 때:

대칭성에 의해 1)과 동일하게 12가지입니다.

3) A가 (흰1, 검1)을 받을 때:

남은 공은 흰 공 3개, 검은 공 3개입니다.

- 전체 경우의 수: ${}_2{H}_3\times {}_2{H}_3=4\times 4=16$가지

- 여사건: 3가지

- 조건을 만족하는 경우: $16-3=13$가지

따라서 $a=2$일 때 조건을 만족하는 경우의 수는 $12+12+13=37$가지입니다.

step4. 모든 경우의 수 합산

이제 step1, step2, step3에서 구한 경우의 수를 모두 더해주면 됩니다.

$22+34+37=93$

따라서 구하는 총 경우의 수는 93가지입니다.

step1. $a=0$일 때

남은 공: 흰 4, 검 4

B, C 분배: ${}_2{H}_4\times {}_2{H}_4=5\times 5=25$

B가 0개 또는 1개 받는 경우: 1(0개) + 2(1개) = 3

$25-3=22$

step2. $a=1$일 때

A가 (흰1, 검0)일 때: 남은 공 흰 3, 검 4

B, C 분배: ${}_2{H}_3\times {}_2{H}_4=4\times 5=20$

B가 0개 또는 1개 받는 경우: 1 + 2 = 3

$20-3=17$

A가 (흰0, 검1)일 때도 대칭성에 의해 17

$17+17=34$

step3. $a=2$일 때

A가 (흰2, 검0)일 때: 남은 공 흰 2, 검 4

B, C 분배: ${}_2{H}_2\times {}_2{H}_4=3\times 5=15$

B가 0개 또는 1개 받는 경우: 1 + 2 = 3

$15-3=12$

A가 (흰0, 검2)일 때도 대칭성에 의해 12

A가 (흰1, 검1)일 때: 남은 공 흰 3, 검 3

B, C 분배: ${}_2{H}_3\times {}_2{H}_3=4\times 4=16$

B가 0개 또는 1개 받는 경우: 1 + 2 = 3

$16-3=13$

$12+12+13=37$

step4. 모든 경우의 수 합산

$22+34+37=93$

$\therefore 93$