(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 수학 확통 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]

a

가

b

의 약수이면

f (a)

는

f (b)

의 약수이다'라는 조건을 보면, 1은 모든 수의 약수이므로

f (1)

은

f (1), f (2), f (3), f (4)

모두의 약수가 되어야 한다는 점을 가장 먼저 떠올려야 해요. 따라서

f (1)

의 값을 기준으로 경우를 나누는 것이 핵심입니다!

step1. 조건 정리

$X = {1, 2, 3, 4}$ 에서 약수 관계를 찾아보면,

- 1은 1, 2, 3, 4의 약수

- 2는 2, 4의 약수

- 3은 3의 약수

- 4는 4의 약수

조건에 따라 이를 함수 $f$ 에 적용하면,

- $f (1)$ 은 $f (1), f (2), f (3), f (4)$ 의 약수

- $f (2)$ 는 $f (2), f (4)$ 의 약수

즉, $f (1)$ 은 모든 함숫값의 공약수여야 하고, $f (2)$ 는 $f (4)$ 의 약수여야 합니다.

step2. 조건을 만족하는 전체 함수의 개수 구하기

$f (1)$ 이 가질 수 있는 값(1, 2, 3, 4)을 기준으로 경우를 나눕니다.

① $f (1) = 1$ 인 경우

1은 모든 수의 약수이므로 $f (2), f (3), f (4)$ 는 $1, 2, 3, 4$ 중 어떤 값이든 가능합니다.

단, $f (2)$ 는 $f (4)$ 의 약수여야 하므로 순서쌍 $(f (2), f (4))$ 를 구해보면,

- $f (2) = 1$ 일 때 $f (4) \in {1, 2, 3, 4}$ (4개)

- $f (2) = 2$ 일 때 $f (4) \in {2, 4}$ (2개)

- $f (2) = 3$ 일 때 $f (4) \in {3}$ (1개)

- $f (2) = 4$ 일 때 $f (4) \in {4}$ (1개)

총 8가지입니다. $f (3)$ 은 4가지 모두 가능하므로, 이 경우의 함수는 $1 \times 8 \times 4 = 32$ 개입니다.

② $f (1) = 2$ 인 경우

$f (2), f (3), f (4)$ 는 모두 2의 배수인 $2, 4$ 중 하나여야 합니다.

$(f (2), f (4))$ 순서쌍 중 $f (2)$ 가 $f (4)$ 의 약수인 경우는

- $f (2) = 2$ 일 때 $f (4) \in {2, 4}$ (2개)

- $f (2) = 4$ 일 때 $f (4) \in {4}$ (1개)

총 3가지입니다. $f (3)$ 은 2가지 가능하므로, 이 경우의 함수는 $1 \times 3 \times 2 = 6$ 개입니다.

③ $f (1) = 3$ 인 경우

$f (2), f (3), f (4)$ 는 모두 3의 배수인 $3$ 만 가능합니다.

따라서 함수는 $1 \times 1 \times 1 = 1$ 개입니다.

④ $f (1) = 4$ 인 경우

$f (2), f (3), f (4)$ 는 모두 4의 배수인 $4$ 만 가능합니다.

따라서 함수는 $1 \times 1 \times 1 = 1$ 개입니다.

조건을 만족하는 전체 함수의 개수는 $32 + 6 + 1 + 1 = 40$ 개입니다. 전체 함수 개수 $4^{4}$ 로 착각하여 분모를 잘못 계산하지 않도록 주의하세요!

step3. $f (4)$ 가 짝수인 함수의 개수 구하기

위에서 구한 각 경우 중에서 $f (4)$ 가 짝수(2 또는 4)인 경우만 추려냅니다.

① $f (1) = 1$ 인 경우

$(f (2), f (4))$ 8가지 중 $f (4)$ 가 짝수인 것은 $(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)$ 로 총 5가지입니다.

$f (3)$ 은 4가지이므로 $5 \times 4 = 20$ 개입니다.

② $f (1) = 2$ 인 경우

$(f (2), f (4))$ 3가지 모두 $f (4)$ 가 짝수입니다.

$f (3)$ 은 2가지이므로 $3 \times 2 = 6$ 개입니다.

③ $f (1) = 3$ 인 경우

$f (4) = 3$ 이므로 짝수가 아닙니다. (0개)

④ $f (1) = 4$ 인 경우

$f (4) = 4$ 이므로 짝수입니다. (1개)

따라서 $f (4)$ 가 짝수인 함수의 개수는 $20 + 6 + 0 + 1 = 27$ 개입니다.

step4. 조건부 확률 계산

구하는 확률은 (조건을 만족하는 전체 경우의 수) 분의 (조건을 만족하면서 $f (4)$ 가 짝수인 경우의 수)이므로,

$\frac{27}{40}$ 이 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 정리

$1$ 은 $1, 2, 3, 4$ 의 약수 $⟹ f (1)$ 은 $f (1), f (2), f (3), f (4)$ 의 약수

$2$ 는 $2, 4$ 의 약수 $⟹ f (2)$ 는 $f (4)$ 의 약수

step2. 조건을 만족하는 전체 함수의 개수 구하기

$f (1)$ 의 값에 따라 분류:

① $f (1) = 1$ : $f (2) | f (4)$ 인 $(f (2), f (4))$ 는 $(1, 1 ~ 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)$ $\to 8$ 개

$f (3)$ 은 $4$ 개 $⟹ 8 \times 4 = 32$

② $f (1) = 2$ : $f (2), f (3), f (4) \in {2, 4}$

$f (2) | f (4)$ 인 $(f (2), f (4))$ 는 $(2, 2), (2, 4), (4, 4)$ $\to 3$ 개

$f (3)$ 은 $2$ 개 $⟹ 3 \times 2 = 6$

③ $f (1) = 3$ : $f (2), f (3), f (4) \in {3} ⟹ 1$

④ $f (1) = 4$ : $f (2), f (3), f (4) \in {4} ⟹ 1$

전체 경우의 수 $= 32 + 6 + 1 + 1 = 40$

step3. $f (4)$ 가 짝수인 함수의 개수 구하기

① $f (1) = 1$ : $f (4) \in {2, 4}$ 인 $(f (2), f (4))$ 는 $(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)$ $\to 5$ 개

$5 \times 4 = 20$

② $f (1) = 2$ : 모두 $f (4)$ 가 짝수 $⟹ 6$

③ $f (1) = 3$ : $f (4) = 3$ (홀수) $⟹ 0$

④ $f (1) = 4$ : $f (4) = 4$ (짝수) $⟹ 1$

$f (4)$ 가 짝수인 경우의 수 $= 20 + 6 + 0 + 1 = 27$

step4. 조건부 확률 계산

$∴ \frac{27}{40}$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

문제의 조건인 ' $a$ 가 $b$ 의 약수이면 $f (a)$ 는 $f (b)$ 의 약수이다'를 어떻게 수식화하고 경우를 나눌지 막막할 수 있습니다.
특히 1이 모든 수의 약수라는 사실을 간과하여, $f (1)$ 이 모든 함숫값의 약수가 되어야 한다는 가장 중요한 제약 조건을 놓치기 쉽습니다.
'이 조건을 만족시킬 때'라는 문구가 조건부 확률을 의미함을 파악하지 못하고, 전체 함수 개수 $4^{4}$ 로 나누는 실수를 할 수 있습니다.

🔑 돌파구

집합 $X$ 의 원소들 사이의 약수-배수 관계를 먼저 하나씩 나열해봅니다. (예: 1은 1, 2, 3, 4의 약수, 2는 2, 4의 약수)
가장 제약이 많은 $f (1)$ 의 값을 기준으로 경우를 나누어 수형도나 순서쌍을 차근차근 구합니다.
조건부 확률의 정의에 따라 '(조건을 만족하는 전체 경우의 수)' 분의 '(조건을 만족하면서 $f (4)$ 가 짝수인 경우의 수)'로 계산합니다.
확장 팁: 함수 문제에서 특정한 관계식이 주어지면, 가장 영향을 많이 미치는 원소(여기서는 1)를 기준으로 분류하는 것이 핵심입니다.

(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 고3 수학 확통 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	확률과 통계 · 조건부확률 / 경우의 수 / 함수의 개수
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구