수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 전체 일대일함수의 개수 구하기

$X=\{1,2,3,4\}$에서 $Y=\{1,2,3,4,5,6,7\}$로의 일대일함수의 개수는 서로 다른 7개에서 4개를 선택해 나열하는 순열의 수와 같습니다.

전체 경우의 수 = ${}_7{P}_4=7\times 6\times 5\times 4=840$

step2. 조건 (가)와 (나) 해석하기

조건 (가)에서 $f(2)=2$로 고정되어 있습니다.

조건 (나)에서 $f(1)\times f(2)\times f(3)\times f(4)$가 4의 배수여야 합니다.

$f(2)=2$를 대입하면 $2\times f(1)\times f(3)\times f(4)$가 4의 배수여야 하므로, $f(1)\times f(3)\times f(4)$는 2의 배수, 즉 짝수여야 합니다.

세 수의 곱이 짝수라는 것은 세 수 중 적어도 하나가 짝수라는 의미입니다.

step3. 조건을 만족하는 경우의 수 구하기

$f(2)=2$이므로 $f(1),f(3),f(4)$는 $Y$의 원소 중 2를 제외한 $\{1,3,4,5,6,7\}$에서 서로 다른 3개를 선택해야 합니다.

이때 '적어도 하나가 짝수'인 경우의 수는 여사건을 이용해 구하는 것이 편리합니다.

(조건을 만족하는 경우의 수) = ($f(2)=2$인 전체 경우의 수) - ($f(1),f(3),f(4)$가 모두 홀수인 경우의 수)

- $f(2)=2$인 전체 경우의 수: 남은 6개의 원소 중 3개를 선택해 나열하므로 ${}_6{P}_3=6\times 5\times 4=120$

- 모두 홀수인 경우의 수: 남은 원소 중 홀수는 $\{1,3,5,7\}$로 4개입니다. 2를 제외한 나머지 원소들 중에서 홀수와 짝수의 개수를 정확히 파악해야 합니다. 이 4개의 홀수 중 3개를 선택해 나열하므로 ${}_4{P}_3=4\times 3\times 2=24$

따라서 조건을 만족하는 경우의 수 = $120-24=96$입니다.

step4. 확률 계산하기

구하고자 하는 확률은 $\frac{96}{840}$입니다.

분모와 분자를 24로 나누면 $\frac{4}{35}$가 됩니다.

step1. 전체 일대일함수의 개수 구하기

전체 경우의 수 = ${}_7{P}_4=7\times 6\times 5\times 4=840$

step2. 조건 (가)와 (나) 해석하기

$f(2)=2$이므로

$f(1)\times f(2)\times f(3)\times f(4)=2\times f(1)\times f(3)\times f(4)$

이 값이 4의 배수이려면 $f(1)\times f(3)\times f(4)$가 짝수여야 함.

--- 세 수 중 적어도 하나가 짝수

step3. 조건을 만족하는 경우의 수 구하기

$f(1),f(3),f(4)$는 $\{1,3,4,5,6,7\}$에서 선택.

   --- 조건 만족 경우의 수) = (전체) - (모두 홀수

전체 = ${}_6{P}_3=120$

모두 홀수(1, 3, 5, 7 중 선택) = ${}_4{P}_3=24$

조건 만족 경우의 수 = $120-24=96$

step4. 확률 계산하기

확률 = $\frac{96}{840}=\frac{4}{35}$

$\therefore ④$