(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 확통 29번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 독립시행의 확률을 이용하여 특정 사건이 일어나는 횟수에 따른 확률을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 한 번의 시행에서 카드를 뒤집을 확률을 구합니다.

step2. 5번의 시행 후 문자 B가 보이기 위한 조건을 찾습니다.

step3. 독립시행의 확률을 이용하여 각 경우의 확률을 계산하고 더하여 $p$ 를 구합니다.

step4. 구한 $p$ 를 이용하여 $128 \times p$ 의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 독립시행의 확률 : 어떤 시행에서 사건 $A$ 가 일어날 확률이 $p$ 로 일정할 때, 이 시행을 $n$ 번 반복하는 독립시행에서 사건 $A$ 가 $r$ 번 일어날 확률은 $(\binom{n}{r}) p^{r} (1 - p)^{n - r}$ 이다.

5. 구체적 풀이

처음 A가 보이던 카드가 5번의 시행 후 B가 보이려면 카드를 몇 번 뒤집어야 할까요? 한 번 뒤집으면 B, 두 번 뒤집으면 다시 A가 되죠. 즉, 상태가 바뀌려면 카드를 '홀수 번' 뒤집어야 한다는 것이 이 문제의 핵심입니다.

step1. 1회 시행에서 카드를 뒤집을 확률 구하기

문제에서 1회 시행은 '동전을 두 번 던지는 것'입니다.

이때 앞면이 2번 나오면 카드를 뒤집는다고 했어요.

동전을 한 번 던질 때 앞면이 나올 확률은 $\frac{1}{2}$ 이므로, 두 번 모두 앞면이 나올 확률은 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ 입니다.

따라서 한 번의 시행에서 카드를 뒤집을 확률은 $\frac{1}{4}$ , 카드를 그대로 둘 확률은 $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ 이 됩니다.

step2. 5번 시행 후 B가 보일 조건 찾기

처음에 문자 A가 보이도록 카드가 놓여 있습니다.

카드를 한 번 뒤집으면 B, 두 번 뒤집으면 A, 세 번 뒤집으면 B... 이런 식으로 반복되죠.

따라서 5번의 시행 후 문자 B가 보이려면 카드를 홀수 번 뒤집어야 합니다.

총 5번의 시행 중이므로, 카드를 뒤집는 횟수는 1번, 3번, 5번이어야 한다는 점을 놓치지 마세요.

step3. 독립시행의 확률 계산하기

5번의 시행 중 카드를 뒤집는 횟수에 따라 각각의 확률을 독립시행의 확률 공식으로 구해봅시다.

- 1번 뒤집을 확률: $(\binom{5}{1}) {(\frac{1}{4})}^{1} {(\frac{3}{4})}^{4} = 5 \times \frac{1}{4} \times \frac{81}{256} = \frac{405}{1024}$

- 3번 뒤집을 확률: $(\binom{5}{3}) {(\frac{1}{4})}^{3} {(\frac{3}{4})}^{2} = 10 \times \frac{1}{64} \times \frac{9}{16} = \frac{90}{1024}$

- 5번 뒤집을 확률: $(\binom{5}{5}) {(\frac{1}{4})}^{5} {(\frac{3}{4})}^{0} = 1 \times \frac{1}{1024} \times 1 = \frac{1}{1024}$

이 세 가지 경우는 동시에 일어날 수 없으므로, 각각의 확률을 더해주면 됩니다.

$p = \frac{405}{1024} + \frac{90}{1024} + \frac{1}{1024} = \frac{496}{1024}$

분모와 분자를 16으로 약분하면, $p = \frac{31}{64}$ 이 됩니다.

step4. 최종 정답 계산하기

문제에서 구하라고 한 값은 $128 \times p$ 입니다.

$128 \times \frac{31}{64} = 2 \times 31 = 62$

따라서 정답은 62입니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 1회 시행에서 카드를 뒤집을 확률 구하기

$P (뒤집기) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$P (그대로) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

step2. 5번 시행 후 B가 보일 조건 찾기

--- A에서 B가 되려면 홀수 번 뒤집어야 하므로

뒤집는 횟수 = 1, 3, 5

step3. 독립시행의 확률 계산하기

$p = (\binom{5}{1}) {(\frac{1}{4})}^{1} {(\frac{3}{4})}^{4} + (\binom{5}{3}) {(\frac{1}{4})}^{3} {(\frac{3}{4})}^{2} + (\binom{5}{5}) {(\frac{1}{4})}^{5}$

$p = 5 \times \frac{81}{1024} + 10 \times \frac{9}{1024} + 1 \times \frac{1}{1024}$

$p = \frac{405 + 90 + 1}{1024} = \frac{496}{1024} = \frac{31}{64}$

step4. 최종 정답 계산하기

$128 \times p = 128 \times \frac{31}{64} = 62$

$∴ 62$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

한 번의 시행에서 카드를 뒤집을 확률을 정확히 구하지 못할 수 있습니다.
5번 시행 후 B가 보이기 위해서는 카드를 '홀수 번' 뒤집어야 한다는 사실을 놓칠 수 있습니다.
독립시행의 확률 공식을 적용하여 계산하는 과정에서 실수가 발생할 수 있습니다.

🔑 돌파구

동전을 2번 던지는 것이 1회의 시행임을 인지하고, 이 시행에서 카드를 뒤집을 확률( $\frac{1}{4}$ )을 먼저 구합니다.
초기 상태(A)에서 최종 상태(B)가 되려면 상태가 바뀌어야 하므로, 뒤집는 횟수가 홀수(1, 3, 5)여야 함을 파악합니다.
각 횟수(1번, 3번, 5번)에 대해 독립시행의 확률 공식을 적용하여 더합니다.
(팁) 상태가 두 가지(A, B)뿐인 경우, 상태가 바뀌려면 홀수 번, 그대로이려면 짝수 번 변화가 일어나야 함을 기억하세요.

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 확통 29번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	확률과 통계 · 독립시행의 확률 / 이항분포
난이도	중

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구