수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 확률변수 $X$의 분포와 구하려는 확률 나타내기

수험생의 시험 점수를 확률변수 $X$라고 할게요.

문제에서 평균이 68점, 표준편차가 10점이라고 했으므로 $X$는 정규분포 $N(68,{10}^2)$을 따릅니다.

우리가 구해야 하는 것은 점수가 55점 이상 78점 이하일 확률이므로, 수식으로는 $P(55\le X\le 78)$이 됩니다.

step2. 표준화하기

이제 이 확률을 구하기 위해 $X$를 $Z$로 표준화해야 해요.

표준화 공식은 $Z=\frac{X-(\text{평균})}{\text{표준편차}}$ 입니다.

- $X=55$일 때: $Z=\frac{55-68}{10}=\frac{-13}{10}=-1.3$

- $X=78$일 때: $Z=\frac{78-68}{10}=\frac{10}{10}=1.0$

따라서 우리가 구하려는 확률은 $P(-1.3\le Z\le 1.0)$으로 바뀝니다.

step3. 대칭성을 이용하여 확률 계산하기

이제 $P(-1.3\le Z\le 1.0)$을 계산해 볼까요?

이 범위는 0을 기준으로 두 부분으로 나눌 수 있어요.

$P(-1.3\le Z\le 1.0)=P(-1.3\le Z\le 0)+P(0\le Z\le 1.0)$

여기서 표에는 음수 값이 없어서 당황할 수 있지만, 표준정규분포 곡선은 0을 기준으로 좌우 대칭이라는 점을 기억하세요!

대칭성에 의해 $P(-1.3\le Z\le 0)$은 $P(0\le Z\le 1.3)$과 넓이가 똑같습니다.

따라서 식을 다시 쓰면:

$P(0\le Z\le 1.3)+P(0\le Z\le 1.0)$

이제 주어진 표에서 값을 찾아 대입해 줍니다.

$0.4032+0.3413=0.7445$

정답은 0.7445가 됩니다.

step1. 확률변수 $X$의 분포와 구하려는 확률 나타내기

$X~N(68,{10}^2)$

구하는 확률: $P(55\le X\le 78)$

step2. 표준화하기

$Z=\frac{X-68}{10}$

$P(\frac{55-68}{10}\le Z\le \frac{78-68}{10})$

$=P(-1.3\le Z\le 1.0)$

step3. 대칭성을 이용하여 확률 계산하기

$=P(-1.3\le Z\le 0)+P(0\le Z\le 1.0)$

$=P(0\le Z\le 1.3)+P(0\le Z\le 1.0)$   --- 대칭성 이용

$=0.4032+0.3413$

$=0.7445$

$\therefore ②$