수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 배반사건 조건 해석하기

문제에서 $A$와 $B^C$이 서로 배반사건이라고 했어요. 배반사건은 두 사건의 교집합이 공집합이라는 뜻이므로, $A\cap B^C=\varnothing$이 됩니다. 따라서 확률로 나타내면 $P(A\cap B^C)=0$이에요.

step2. $P(A)$와 $P(B)$ 구하기

사건 $A$는 $B$와 겹치는 부분과 겹치지 않는 부분으로 나눌 수 있어요. 즉, $A=(A\cap B)\cup (A\cap B^C)$입니다. 두 부분은 서로 배반이므로 $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^C)$로 쓸 수 있죠.

앞서 $P(A\cap B^C)=0$임을 알았고, 문제에서 $P(A\cap B)=\frac{1}{5}$이라고 주어졌으므로, $P(A)=\frac{1}{5}+0=\frac{1}{5}$이 됩니다.

이제 문제의 두 번째 조건인 $P(A)+P(B)=\frac{7}{10}$에 $P(A)=\frac{1}{5}$을 대입해 볼까요?

$\frac{1}{5}+P(B)=\frac{7}{10}$이므로, $P(B)=\frac{7}{10}-\frac{2}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$이 됩니다.

step3. $P(A^C\cap B)$ 계산하기

우리가 구해야 하는 값은 $P(A^C\cap B)$예요. 집합의 연산에서 $A^C\cap B=B\cap A^C=B-A$와 같아요.

사건 $B$도 마찬가지로 $A$와 겹치는 부분과 겹치지 않는 부분으로 나누면 $B=(A\cap B)\cup (A^C\cap B)$가 됩니다.

따라서 $P(B)=P(A\cap B)+P(A^C\cap B)$로 나타낼 수 있어요.

여기서 $P(A^C\cap B)$를 $P(B)-P(A)$로 착각하기 쉬운데, $A$가 $B$의 부분집합일 때만 성립하는 식이에요. 항상 $P(B)-P(A\cap B)$로 계산해야 한다는 점을 잊지 마세요!

식을 정리하면 $P(A^C\cap B)=P(B)-P(A\cap B)$가 됩니다.

앞서 구한 값들을 대입하면, $P(A^C\cap B)=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{5}{10}-\frac{2}{10}=\frac{3}{10}$이 됩니다.

step1. 배반사건 조건 해석하기

$A\cap B^C=\varnothing$   --- $A$와 $B^C$이 배반사건이므로

$\therefore P(A\cap B^C)=0$

step2. $P(A)$와 $P(B)$ 구하기

$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^C)=\frac{1}{5}+0=\frac{1}{5}$

$P(A)+P(B)=\frac{7}{10}$   --- 주어진 조건에 대입하면

$\frac{1}{5}+P(B)=\frac{7}{10}$

$\therefore P(B)=\frac{1}{2}$

step3. $P(A^C\cap B)$ 계산하기

$P(A^C\cap B)=P(B)-P(A\cap B)$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{3}{10}$

$\therefore ③$